MOUVEMENT VERTICAL D'UN CORPS PESANT DANS UN MILIEU RÉSISTANT

92. Chute verticale. — Supposons qu'un corps sphérique tombe verticalement dans l'air en vertu de la pesanteur, et cherchons la loi de son mouvement, en admettant, ce qui n'est pas tout à fait exact, que la résistance de l'air soit proportionnelle au quarré de la vitesse, et représentée par la formule

dans laquelle c est un coefficient qui, pour une vitesse médiocre, est environ 0,60 , II le poids d'un mètre cube d'air, A la surface d'un grand cercle de la sphère, v la vitesse.

106 DY1UK1QUI D'UK POINT KATtKBL. SKT. n, OUF* I.

♦équation différentielle du mouvement est

dv mg — il dF — m #

En appelant ÏÏ le poids par mètre cube de la sphère supposée homogène, et r le rayon de cette sphère, on a

k ArU 3 S

et r équation précédente, si l'on pose

, 8 rfl ' . dv v* *

On en tire

et en intégrant depuis v = v vitesse initiale,

Si Ton supposait nulle la vitesse initiale, cette formule se réduirait à

La vitesse croît avec le temps, mais ne peut, dans ce cas, atteindre la valeur l/gk à laquelle correspondrait t = co .

dV V 1 - y- —

Si, dans l'équation tt = 9 ~ t> on supposait v=l/ ^

ASCENSION DANS UN WLttC RÉSISTANT. i07

on aurait — = ; cette vitesse 1/ gk étant une fois imprimée, le mouvement du corps tombant serait uniforme. Revenant à la question générale, pour obtenir l'espace x en

fonction de v, nous éliminons &t entre l'équation [1] et v = -- ;

il vient

dxzzzk

gk — v*' d'où

2 loge

|l0g(iF*-V)-l0g(jf*-^)).

95. Ascension. — Supposons que le corps sphérique soit lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse initiale v # « Comptons dans ce sens la vitesse et les x positifs, et conservons les notations précédentes. On a ,

— Œ—a — --, d'où « = i

dt * k y g a , v*

et / =1 / * I arc tang ZT7=^ — arc tang 7~p=î I

En faisant v = 0, on obtient pour # la durée de l'ascension, après laquelle le corps retombe. La formule cesse alors d'être applicable, et doit être remplacée par l'équation [3] du numéro précédent, parce que la résistant* R, et par conséquent*, changent de signe.

Pour obtenir l'espace parcouru x pendant l'asenswo en fonction de la vitesse v f on procède comme dans le cas précédent ; on a

• vdv A: ?* + v 2

108 DYNAMIQUE D'UN POINT MATÉRIEL. SBCT. Il, CHAP. I.

Exemple. Sphère dont le poids LÏ par mètre cube est 800 kilogrammètres, le rayon r= 0"s015, la vitesse initiale v = 10 mètres. Le poids du mètre cube d'air à 10° est 4 k *,25. On suppose € = 0,60. On en conclut k =42,67. On trouve, en faisant v=0, la durée de l'ascension de 0*,949 et sa hauteur de 4 m ,5, tandis

que, dans le vide, la première serait — = 1 $ ,02, et la seconde

La résistance de l'air a donc plus d'influence sur la hauteur de l'ascension que sur sa durée.