SANS FROTTEMENT

88. Dans cette hypothèse purement théorique, le corps est effectivement sollicité par deux forces, Tune verticale qui est son poids P ou mg, l'autre 2V, réaction normale du plan (fig. âjty. Leur résultante est dans le plan incliné, puisque le corps s'y meut ; elle est aussi dans le plan de ses deux composantes, qui est à la fois vertical et perpendiculaire au plan incliné : elle est donc dirigée suivant la ligne de plus grande pente ; donc (36)

h son intensité F est P sin t ou P~. On obtient le même résultat , mais avec moins de netteté dans les idées et d'exactitude dans le langage, en disant que le poids P se décompose en deux forces, l'une perpendiculaire au plan, détruite par la résistance de ce plan, l'autre parallèle, qui est la force effective.

Si le corps est parti du repos , il se meut suivant la ligne de plus grande pente, et les éqtiations de ce mouvement sont

% dv F

— = - = g sin », v = gtsini, ni m

x = - g& sin i, v* = 2 gx sin ».

En supposant que le corps ait parcouru la longueur l et soit descendu de la hauteur A, on a 1° pour la vitesse acquise,

v zzA/^gl sin i = l/^gh , ce qu'on trouverait immédiatement par r équation du travail, le travail de P étant Ph ou mgh , et celui de N étant nul ; 2° pour le temps de la descente

J/ g sin i y gh p/ gh

ii2 DYNAMIQUE D'UN POINT MATÉRIEL, SBCT. H, CBAP. I.

Ainsi, deux mobiles partant sans vitesse initiale d'an même point et suivant deux plans inclinés quelconques, arrivent au même plan horizontal avec des vitesses égales, mais en des temps inégaux proportionnels aux longueurs parcourues.

Si, pour divers* plans inclinés, la quantité — était constante,

le temps de la descente serait constant. Il faut pour cela que les fT^ns aient les mômes longueurs et les mêmes inclinaisons que des cordes aboutissant à l'une des extrémités du diamètre vertical d'un même cercle. Le rayon du cercle étant r, on a :

P = 2r& et t

96. Problème. Etant donnés un point A et un plan BC, déterminer le plan incliné AP suivant lequel un point pesant parti de A, sans vitesse initiale, arrivera au plan BC dans le temps le plus court.

Imaginons une sphère qui, passant par A (tig. 2i), ait son centre O sur la verticale AB et gbit tangente au plan BC ; la droite AP cherchée joint le point donné A au point de contact P. Elle divise en deux parties égales l'angle BAD A la verticale AB et de la normale AD au plan.