MM MM
et doit être un minimum par rapport à tous les chemins qu'aurait pu suivre le mobile pour descendre de M en M", ces deux points étant supposés invariables. S'il en est ainsi , il faut que cette somme reste un minimum, quand on suppose que le point
128 DYNAMIQUE D UN POINT MATÉ1IBL. UCT. Il, CHAP. II.
M' peut varier sur l'horizontale NL. Dans ce cas, soient les hauteurs
MN = A, N'M' = h' constantes , et les angles
NMM' = a , N'M'M" = ol variables ; il en résulte
MM' = — — . il M" *'
cos a ' cos a' 9
NM' = h tang a , MIT = À' tang *'.
La double condition à remplir est donc formulée par
H "; ? = minimum.
v cos a v cos «
et
A tang a -+- h r tang a' j= constante.
Nous aurons donc en diiférentiant, eu égard à la variation des seules quantités a et ce',
h sin cl d<x h' sin a da
et
v cos* a v' cos 2 a
h da A' da
d'où
cos* a cos* a''
sin a sin a = — ?-.
(*) Les cinq équations qu'on vient de lire donnent la solution trèssimple de celte question : Un mobile se transporte de M en M' en traver-
MOUYBMENT CYCLOÏDAL. 429
Ainsi la quantité , qui se rapporte au point M, est
sîn /y
égale à la quantité analogue , qui se rapporte au point
M'; d'où il résulte que, dans toute l'étendue de la courbe, la
quantité , calculée pour un quelconque de ses points,
d'après la signification attribuée aux notations a el v, doit être
constante.
Cette propriété caractéristique de la courbe cherchée se
traduit ainsi : on a v = X/lgy et sin a =. — ( l'élément
de la courbe &s ayant pour projections, &x horizontale, et dy
Sin /y
verticale) ; donc la relation = constante revient à
dx
r~7= = constante.
y/yds
Or, c'est la condition à laquelle satisfait la cycloïde, car la similitude, déjà remarquée ci-dessus, des triangles M LM ' et MQT (fig. 27), donne
dx MQ J/mq-tq [/m
**~ MT ~ J/2^~TQ ~ J/27'
sant un plan fixe IWL ; avant de le traverser, il a une vitesse v dont la valeur est constante, quelle que soit sa direction; quand le mobile a traversé le plan ÏWL, sa vitesse est v', différente de la première, mais aussi constante. A quelle condition géométrique doit satisfaire le parcours IHM'IH" de M en M" pour que sa durée soit un minimum ? La réponse est que les sinus des angles a et * sont dans un rapport constant, égal à celui des vitesses. Si le mobile, après avoir louché ce plan, rejaillit et reste du même côté, la vitesse ne change pas el les deux angles sont égaux. On remarquera l'analogie de ces résultats avec les phénomènes de la réfraction et de la réflexion de la lumière.
430 DYNAMIQUE d'u* POINT MATÉRICL. SKT. II, CHÀP. II.
relation identique à la précédente, pourvu que Ton fasse i\Q =y y c'est-à-dire que les ordonnées soient comptées à partir de la base AC de la cycloïde.
Ainsi, la courbe de la plus vite descente, ou brachystochrone, de A en M, est une cycloïde dont l'origine est au point de départ A du mobile. Ces deux points étant donnés, on trouverait le rayon générateur de la cycloïde en se fondant sur ce que toutes les cycloïdes sont des courbes semblables; on en construirait une quelconque, ayant sa base horizontale et son sommet au-dessous. On y tracerait par l'origine une corde A,M t
parallèle à AM, et le rapport - serait égal au rapport du
rayon cherché au rayon choisi pour la cycloïde auxiliaire.
L'existence inévitable du frottement fait que cette propriété et celle du tautochronisme ne peuvent être réalisées par l'expérience d'un corps glissant sur une surface cycloïdale. Il est vrai que, théoriquement, un point matériel suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible oscille en décrivant une cycloïde si l'autre extrémité du fil est fixée à l'origine commune D de deux demicycloïdes D A et DC , égales à celles, CB et AB, que Ton veut faire décrire, et placées de manière que Ife fil enveloppe alternativement chacune de ces courbes. Mais, en pratique, la masse du fil, sa roideur et son extensibilité, altèrent les résultats de cette ingénieuse disposition, imaginée par Huyghens.
On préfère au pendule cycloïdal le pendule circulaire, qjii, comme le dit Laplace, est d'une précision suffisante, même pour l'astronomie.
