EXEMPLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE
108. Un point décrivant une ellipse par l'action d*unt force dirigée vers son centre, trouver l'expression de cette force et la loi du mouvement dont il s'agit.
MOYEHEKT ELLIPTIQUE. 131
Une ellipse dont les axes principaux sont %a et 2fc peut toujours être considérée comme étant la projection rectangulaire d'une circonférence dont le diamètre est égal au grand axe 2a, et dont le plan fait avec celui de l'ellipse un angle qui a pour
cosinus -. Imaginons que, pendant que le mobile mentionné a
à l'énoncé décrit sa trajectoire elliptique, un autre point de même masse décrive la circonférence correspondante, de manière que l'un des mobiles soit sans cesse la projection de l'autre . Les deux forces totales sont également (55) la projection l'une de l'autre. Donc la force totale du mouvement circulaire sera centripète, et par conséquent constante. En représentant par T la durée constante et commune de la révolution des deux mobiles autour de leurs centres, nous aurons pour la force totale
47t 2 correspondante au mouvement circulaire F = — - am; et attendu que le rayon vecteur a du point mobile sur le cercle a san6 cesse pour projection sur le plan de l'ellipse le rayon vecteur r du mobile qui parcourt cette trajectoire, nous en concluons la force
4tc 2 qui sollicite à chaque instant ce dernier F 4 .== — - rm. C'est
la force demandée, variable et proportionnelle à la distance r. La loi du mouvement dont il s'agit résulte clairement de ce qu'il est la projection d'un mouvement circulaire uniforme. Les aires
décrites parles rayons vecteurs sont dans un rapport constant -,
qui est le cosinus de l'angle des deux plans ; elles sont donc proportionnelles au temps, comme on le savait d'avance (60).
109. Mouvement d'an point matériel sollicité par une forée totale dont la direction passe par un point fixe, et dont l'Intensité est une fonction de la distance du mobile & ce centre d'action*
Il est naturel de rapporter la position vjariable du mobile à des
i32 DYNAMIQUE D'UN POUIT MATÉRIEL. SBCT. H, CHÀP. II.
coordonnées polaires dont le pôle soit le centre d'action; et la double condition à laquelle la force est soumise conduit à deux équations très-simples entre ces coordonnées et le temps. L'une est l'équation du moment de la vitesse (59), ou, ce qui revient au même, l'équation du moment de la quantité de mouvement (63); l'autre est l'équation du travail (64).
1° Soient (fig. 13) r le rayon vecteur OM , et a l'angle MO A qu'il fait avec une droite fixe OA.
MM' ou d* étant l'arc parcouru pendant le temps &t, l'angle
&s MOM' == àa, la vitesse ~ se décompose rectangulairement en
MN dr NM' da
"dT"~dî' àt *""" r Tt
Le moment de la quantité de mouvement du mobile autour
da
de O est donc mr* — , et il est constant, parce que le moment
dt
de la force totale est constamment nul. On a donc
[1] r* da = C dt.
C'est ce qu'il est d'usage d'exprimer en disant que l'aire infini-
ment petite ~ r-r da, décrite par le rayon vecteur pendant le
temps dt, est proportionnelle à ce temps, ce qui revient encore
da
à dire que la vitesse angulaire — est inversement proportionnelle au quatre de la distance r.
2° D'après la décomposition, ci-dessus indiquée, de la vitesse v, on a
dr* a da a
dt*^ df* '
et l'accroissement d ~ mv 2 de la puissance vive pendant le
