MOUVEMENT ELLIPTIQUE
parcours de Tare MM' est exprimé par
et égal au travail de la force totale pendant ce même parcours. Soit m<p cette force, fonction de r, prise positivement lorsqu'elle est attractive. On a pour expression de son travail élémentaire
— ma dr;
ainsi, l'équation du travail devient
1 /dr 2 + r*da2\ ? dr== -2 d ( rt ]•
Comme elle renferme les trois variables r, a et l, on peut en éliminer une au moyen de l'équation [1] : en éliminant &t, on obtient
Remarquons que les équations [1] et [2] sont équivalentes aux
d 2 jt d*v
équations générales m — - = X et m — -^ = y du numéro 52, d'où on aurait pu les conclure, en ayant égard aux conditions spéciales que l'énoncé attribue à la force.
Applications. — I. $i la fonction de r, désignée par <p, est connue, l'équation [2] étant intégrée donnera
ç, désignant une fonction dont <p est la dérivée par rapport à r,
134 DYNAMIQUE D'UN POINT MATfiftUL. SUT. II, CHAP. II.
et C étant une seconde constante. Cette dernière équation donnera, par la séparation des variables,
d* = f (r) àr
et la substitution dans [1],
C àt = r a f (r) dr.
Deux quadratures fourniront l'équation de la trajectoire et la relation du temps avec le rayon vecteur , sauf quatre constantes déterminées par les deux coordonnées du mobile, l'intensité de la vitesse et sa direction à un certain instant.
H. Si c'est la trajectoire qui est donnée, on connaîtra 1 1 /dr\ 2
- 4- -r [ — I en une fonction de r, et en la différentiant on r 2 r* \&od
obtiendra <p par l'équation [2],
Exemple. La trajectoire est une section conique dont le point fixe O est un foyer , conformément à Tune des lois de Kepler (400). On demande quelle est la force qui sollicite sans cesse le mobile vers ce point.
Si la courbe est une ellipse dont les foyers sont O et O' (fig. 29), comptons les angles a à partir de la portion du grand axe allant du foyer O au sommet le plus rapproché A.
En faisant le grand axe = 2a , et OO f = 2c = 2ae, (e < i est l'excentricité), on a, à cause du triangle O'MO,
r' 2 = r 2 + 4;c 2 + 4cr cos a, et par la propriété de l'ellipse
/ + r = 2a, d'où r' 2 = r 2 + *« 2 — bar ;
donc
a 4- c Côs <x i «+- e cos «
MOUVEMBMT ELLIPTIQUE. 135
Si la trajectoire est une hyperbole dont les foyers sont o et O' (fig. 30), comptons les angles * à partir de OO', en faisant Taxe transverse AA' = 2a, et OO' = 2c = 2ae, (e > 4), on a, à cause du triangle OMO',
r' 2 = r 2 -+- 4c 2 — Acr COS a,
et par la propriété de l'hyperbole
r' — r = %a, d'où r' 2 = r 2 + 4a 2 ■+■ Ur ;
donc
a + c ces a 1 + <? cos a'
Si la trajectoire est une parabole (fig. 31), soit A 1q sommet, BN la directrice, OB =p. On a immédiatement, par la propriété focale de cette courbe, OM = MN,
r COS a + r = », d'où r = -
COS ol
Cette expression de r est la limite dont s'approche chacune des deux précédentes à mesure que e s'approche de 1, tandis que a augmente de manière que le produit a (e 2 — \ ) reste égal )i une quantité finie p.
Les trois expressions de r sont renfermées dans une formule unique, où p est une longueur constante quelconque appelée demi-paramètre de la section conique :
! ellipse, e<Ci y hyperbole, e > \ , parabole, e = i .
136 DYNAMIQUE D'UN POINT MATÉRIEL. SECT. Il, CHAP. II.
Cela posé, appliquons l'équation [2]. En différentiant l'équation de la trajectoire mise sous la forme
\ i -+- e cos a 1 dr e sin a
- = , ona 7%Ta = —-
Elevons au quarré la seconde de ces équations, et éliminons Pangle a au moyen de la première :
1 /drV 2 e* (1 - cos 2 a) \r / e 2 — \ j %
^\àj ~ p* — " p* """"*>*" r* + ^' W'
La substitution de cette expression dans l'équation [$] donne
i / z e- — 1\ dr = — r C2 d [ 1 — I ,
?ar = -C*d(- +
d'où, en opérant la diiférentiation indiquée au second membre et en supprimant le facteur dr, on conclut
CPZZIC 2 r et *»«=€*—. [4].
T pr* T pr*
Ainsi, la force cherchée est positive, c'est-à-dire attractive, et elle varie, pendant le déplacement du mobile, en restant réciproque au quarré. de sa distance au centre d'action.
111. Non-seulement la quantité C est constante quand il s'agit
du mouvement d'une planète sous l'action de la force m<f qui
C 2 l'attire vers le soleil, mais encore le coefficient — est constant
pour tous les corps célestes qui appartiennent au système solaire, si l'on suppose que la masse du soleil est tellement grande en comparaison de celles des planètes, que chacune de celles-ci se meut à très-peu près comme elle le ferait sous la seule force attractive qu'elle reçoit du soleil, force variable seulement en
