POINT PESANT DANS UN TUYAU TOURNANT
1° Pour déterminer la vitesse relative finale v r , il suffit de se servir du théorème du travail et de la formule
La résultante F des forces réelles se compose 1° du poids mg dont le travail , considéré dans le mouvement relatif, est mgh aussi bien que dans le mouvement absolu ; 2° de la pression ou réaction du tuyau, qui étant continuellement normale à la surface de ce tuyau. Test par conséquent à la trajectoire relative du mobile ; d'où il suit que son travail, pour un observateur entraîné avec le tuyau, serait nul. Ainsi SF se réduit à mgh. Quand à F e , puisque le mouvement du tuyau est circulaire et uniforme, en représentant sa vitesse angulaire constante par w et la distance variable du mobile à Taxe par r, nous avons F e = mw 2 r et dirigée horizontalement vers Taxe. Pendant un temps df, le mobile s'éloigne de Taxe d'une quantité dr, et par conséquent on a
— dSF e = mw*r dr,
et en intégrant
— ©F e = | mw* (r t 2 — r*) .
L'équation ci-dessus devient donc
m (V *,*) — mgh 4- ^ mw* (r*— r *)
ou
v r 2 = V x * + %gh + v e 2 — V£,
si Ton appelle v e et F e les vitesses wr % et wr des points B et A du tuyau.
442 DYNAMIQUE P'UN POTOT MATEMl. 8SCT. Il, CÊÂf. II.
2° La vitesse v est la résultante de v r et de la Ttteese v e ou w, du point B, la direction de v r étant celle de la tangente h l'extrémité B du tuyau, et la direction de wr t étant horizontale et perpendiculaire à BB' dans le sens de sa rotation.
112. Troisième exemple Une petite boule glisse le long d'une baguette horizontale très-mince qui la traverse, et à laquelle un moteur imprime et conserve un mouvement de rotation uniforme autour d'un de ses points. Déterminer le mouvement de la boule en la considérant comme un point matériel et en négligeant son frottement sur la baguette.
Soient w la vitesse angulaire de la baguette,
x la distance de la boule à Taxe de rotation en un instant quelconque,
x la valeur initiale de x,
v et F les vitesses correspondantes de la boule relativement à la baguette.
La théorie précédente s'applique en faisant &=0; on a donc
wx et wx sont les vitesses absolues des points de la baguette qu'occupe le centre de la boule aux deux instants désignés. Si, par exemple, les données sont telles qu'à l'instant initial on ait wx = V , on en conclura V—wx\ la vitesse relative v et la vitesse d'entraînement wx seront donc constamment égales -, et comme elles sont rectangulaires, la vitesse absolue à un instant quelconque fera avec la direction de la baguette au même instant un angle de 45°.
Cherchons en général la relation de la distance x avec le
dx
temps t . En remplaçant v par son expression — -, et la constante
BOUM GLISSANT SUR 9WR SAWIYTE TOUUUtTH. 143
^2 — w 2 ^» par w*«, on trouve
1 dx
Ût ÏS — • y ' *
ou en posant x 2 H- a = «*, et par suite xdjc = zdz,
dx dz djc -I- dz , , .
wd* = — = — = , et en intégrant de x % a *,
2 X JC + Z
wt log e = log
Pour obtenir l'équation de la trajectoire que décrit le centre de la boule dans son mouvement absolu, il suffit de remarquer que la baguette faisant à la fin du temps t l'angle a avec sa direction initiale, onaa=: wf, de sorte qu'en substituant a à w* dans l'équation précédente, on aura celle de la trajectoire en coordonnées polaires a et x.
Remarques. — ï. ïi est taon, comme exercice, de traiter ia même question directement, en partant de la formule <7G)
F r = Rés {F, — F«, —%mv t w sin («fwj, ou plus simplement
F r = Rés(F,— F e ,— F f ).
ici F r a une direction connue, celle de la baguette ; Fét*nt due à la pesanteur et à l'action de la baguette, es* perpendiculaire A cette direction ; la force composée F' qui a pour valeur tmtt», parce que sin (F, w) = \, est perpendiculaire à la même direction, qui est celle de la vitesse relative ; — F e est la force centrifuge mmx suivant la baguette : ainsi F t résultante de deux foroea
444 DYNAMIQUE D'UN POINT MATERIEL. SKCT. II, CBAP. n.
rectangulaires, l'une produite par la composition de F et de — F", l'autre — F e , a la direction de cette dernière et lui est par conséquent égale, tandis que F et —F' se détruisent. On a donc
F r = — Fe OU — = w*x ; et en multipliant par v&t = &x,
VAV = w'jcdx ; d'où r % — F « = w 1 (** — *,•)
comme ci-dessus.
IL La boule possédait à l'instant initial la vitesse absolue
L/ v* ■+• w 2 x * ; parvenue à la distance x de Taxe, elle a la
vitesse l/V* + tu*x*; elle a donc acquis dans l'espace un
accroissement de puissance vive - m (v* — V* + w* (x % — x *)
ou (d'après la dernière équation) mw* (x* — jc *). Quelles sont les forces dont le travail produit cet effet? Les forces réelles qui agissent sur la boule sont : son poids et la réaction de la baguette normale à sa direction. La résultante de ces forces est horizontale comme la trajectoire. Par conséquent, si Ton conçoit la réaction totale de la baguette décomposée en deux forces, Tune verticale, l'autre horizontale, la première est égale et contraire au poids du mobile, la deuxième est la résultante F. Quant à sa valeur, on a vu tout à l'heure qu'elle est égale à F', c'est-à-dire
à %mVw ; ainsi, F = SrnFw = %mw \/w* (x* — jc *) + F *.
C'est la réponse à la question qui vient d'être posée. Cette force qui croît avec jc est continuellement exercée par la baguette qui en reçoit une, faisant un travail égal, d'un agent moteur quelconque.
Vérifions que la force %mVw produit bien un travail égal à la puissance vive acquise par la boule. Le travail élémentaire de
PENDULE DE M. FOUCÀCLT. 145
cette force horizontale et normale à la baguette pendant le temps dt est QmVwwx&t = 2mtu 2 *djc, à cause de v&t = dx. Son intégrale de x Q à x est mtv 2 (jc 2 — x 2 ), comme ci-dessus.
115. Quatrième exemple. Mouvement du pendule simple eu égard à la rotation de la terre. — Nous considérons le pendule
comme réduit à un point matériel assujetti par un fil à se mouvoir sans frottemçnt sur une sphère fixée à la terre, celle-ci étant supposée en mouvement de rotation uniforme autour de Taxe des pôles. Les forces réelles qui sollicitent ce point sont l'attraction A vers le centre du globe, et la tension N variable du fil; la première force fictive est la force — F e centrifuge, c'est-à-dire dirigée en sens contraire de la droite allant du point matériel en prolongement du rayon du parallèle terrestre sur lequel a lieu le phénomène. Or les deux forces A et — -F e ont une résultante qui est le poids mg du corps et dont la direction est verticale. Il suffira donc d'introduire dans les seconds membres des dernières équations du numéro 82, 1° cette force verticale mg; 2° la force N allant du mobile au point de suspension ; 3° enfin la deuxième force apparente due à la rotation d'ensemble de la terre.
En faisant usage des formules qui viennent d'être citées, nous prenons le point de suspension pour Torigine O des coordonnées relatives. Soit (tig. 34) Taxe Oz vertical de haut en bas, Taxe Ox horizontal et dirigé dans le plan méridien, du sud au nord, enfin Taxe Oy horizontal et dirigé de l'ouest à Test.
La force due à la pesanteur se réduit à mg suivant Oz; ses projections sur les deux autres axes sont nulles.
La longueur du fil étant l , la force N a pour projections x y z
L'axe de la rotation w étant parallèle à Taxe des pôles dans le sens du sud au nord, si l'on appelle X la latitude, on a
wx = w cos X, wy = 0, w z = — w sin X.
