CHAPITRE II. — PERSPECTIVE CAVALIÈRE
Soient AQBP la perspective du grand cercle de front de la sphère, et MN une droite passant par le centre 0 et donnant la direction des lignes fuyantes. Le rapport de réduction est égal a |.
Nous supposons que la sphère a glissé dans le cylindre circonscrit, de manière que son centre se trouve en 0. Nous la coupons alors par un plan perpendiculaire au tableau et parallèle aux projetantes : sa trace EG est une ligne fuyante. L'intersection de ce plan avec la sphère est un cercle qui a EG pour diamètre : nous pouvons le tracer sur la figure, en le rabattant autour de cette droite.
La direction des projetantes dans un rabattement autour de MN est donnée par l'hypoténuse EF du triangle rectangle AOF, dans lequel le côté OF est la moitié du rayon OA. Les projetantes ont la même direction, dans le rabattement autour de FG. Les deux tangentes h et ît parallèles à AF sont donc deux génératrices du cylindre circonscrit. Leurs rencontres s et t avec EG donnent deux points de lat perspective cherchée.
En opérant sur la ligne MON, on trouve les points M etN. La symétrie de la figure montre que les droites rectangulaires MN et AB sont les deux axes de l'ellipse.
316. Les principes de la Géométrie descriptive conduisent à un moyen facile de construire l'ellipse par points sans tracer des cercles tels que.IJ.
Nous prenons un second plan de projection perpendiculaire au premier, et ayant pour trace la droite MN. Le cercle AQBP peut être regardé comme la trace de la sphère sur chacun des deux plans coordonnés.
Le cercle de contour apparent de la sphère est projeté sur le second plan, suivant le diamètre PQ perpendiculaire à AF. Il faut chercher la trace, sur le premier plan, d'un cylindre qui aurait ce cercle pour directrice, et dont les génératrices seraient parallèles à AF.
Un point quelconque R de PQ est la projection, sur le second plan, de deux points de la directrice du cylindre circonscrit. Ils sont sur le petit cercle qui a pour projection la droite SS0 et par conséquent leur distance au point R et au second plan est égale à RS,. On pourrait établir leurs projections sur le premier plan, et chercher ensuite les traces des génératrices correspondantes du cylindre; mais il est plus simple de remarquer que la perspective du point R est sur la ligne de terre en r, et que par suite celles des points considérés doivent être sur une perpendiculaire srs{, à une distance de r égale à RS,. On obtient ainsi les points s et s% .
La verticale du centre 0 perce la sphère en un point V du cercle de front CVD. Ce serait le point de contact de la sphère avec un plan horizontal qui la porterait. On voit comment on aurait dû traiter la question, si ce point avait été une des données du problème.
316 a. En supposant le triangle OFA relevé, on voit que le point F est la per-
l36 LIVRE IV. — PERSPECTIVES AXO ISOMÉTRIQUE ET CAVALIÈRE.
spective de Tune des extrémités du diamètre perpendiculaire au tableau. Le point F est donc sur l'ellipse qui est la perspective du grand cercle horizontal de la sphère.
Les deux plans de front qui passent respectivement par les points F et F' de l'espace y touchent la sphère. Les courbes d'intersection de ces plans avec le cylindre circonscrit ont pour perspective -l'ellipse MN et lui sont identiques; les points F et F' coïncident donc avec les foyers de cette conique (art. 252, 6°).
On arrive directement à ce résultat, en remarquant que les triangles AOF et OQN sont égaux, d'où il résulte que AF est égal à la moitié ON du grand axe de l'ellipse.
Le contour apparent MANB est doublement tangent aux perspectives de tous les cercles tracés sur la sphère, et notamment aux perspectives des différents cercles de front. Ces cercles ont pour diamètres les cordes (telles que HK) qui, dans l'ellipse CFDF sont parallèles au diamètre CD. On en conclut que les circonférences qui ont pour diamètres les cordes parallèles d'une ellipse CFDF' sont doublement tangentes à une même ellipse MANB, dont les foyers F et F' sont aux extrémités du diamètre conjugué avec les cordes considérées.
Si Von conçoit tous les cercles doublement tangents à une ellipse donnée MANB, et ayant leurs centres sur son grand axe MN, et dans chacun d'eux un diamètre parallèle à une direction fixe CD, le lieu des extrémités H et K de ce diamètre sera une ellipse CFDF', doublement tangente à V ellipse donnée MANB et passant par les foyers F et F.
Dans le cas où les cercles doublement tangents auraient leurs centres sur le petit axe de l'ellipse, on trouverait que le lieu des points H et K est une hyperbole.
Chaque cercle a deux de ses rayons normaux à l'ellipse MAN; on peut considérer les points H et K comme les extrémités de ces rayons, ramenés par une rotation autour du centre u9 dans une direction fixe CD. Si la droite CD est perpendiculaire au grand axe de l'ellipse, on a le lieu des extrémités des normales redressées par une rotation autour du point où elles rencontrent cet axe. Les foyers de la première ellipse sont deux des sommets de la seconde (i).
Niclte sphérique. {Planche LU, fig. 182.)
317. Nous traçons les lignes situées sur le plan de tête que nous prenons pour tableau; nous obtenons l'ellipse perspective du cercle de base par la méthode que
(1) Les théorèmes établis à l'article 31 6r/ peuvent servir à démontrer facilement plusieurs propositions relatives aux surfaces d'égale pente (a* Partie, art. 548-850). Nous avons suivi dans cette addition les euilles du Cours professé à l'École Polytechnique par M. Mannheim.
