CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRÀLES

IIe Exercice. — Ombres d'un perron. {Fig. i8j.)

324. On propose de déterminer les ombres d'un perron éclairé par des rayons parallèles à une droite donnée (Ss, S' s').

Le plan et l'élévation n'indiquent pas complètement les dispositions du perron, et nous aurions ajouté une coupe transversale, si une perspective cavalière, dont nous nous occuperons plus loin {fig. i8G), ne levait pas toute incertitude.

Les arêtes projetées horizontalement sur GB séparent les faces éclairées du rampant de celles qui sont obscures. Ces arêtes sont (B, B"B'), (BF, B'), (FH, B'G') et (HG, G'). Le plan d'ombre de la première est vertical, et toutes les lignes d'ombre qu'il détermine se confondent, en projection horizontale, avec sa trace Bp parallèle à S*. Il est facile de déterminer sur les plans horizontaux des différentes marches les traces du rayon qui passe par le point le plus élevé (B, B') de l'arête. L'une d'elles p est sur le giron {*) d'une marche : c'est le point où le rayon rencontre la surface de l'escalier, et l'extrémité de la ligne d'ombre Bmn.

Le même plan d'ombre coupe lesplans verticaux des marches, suivant des verticales qui correspondent aux points m et n. Il est inutile de dire que l'ombre du point (B, B') aurait pu se trouver sur un de ces plans verticaux.

La seconde arête (BF, B') est perpendiculaire au plan vertical; son plan d'ombre coupe le plan horizontal delà troisième marche suivant la droite ppK parallèle à BF, et le plan vertical de la quatrième marche suivant la ligne p'W parallèle à SV. L'extrémité q' de la partie utile est la trace sur ce dernier plan du rayon (Fq9 B'y').

L'extrémité inférieure (F, B') de la troisième arête (FH, B'G') est dans le plan horizontal de la dernière marche; le rayon passant par l'extrémité supérieure (H, G7) perce ce plan au point h : la trace du plan d'ombre est donc Yuvh. Le rayon (HA, G' A') rencontre le plan horizontal de la marche précédente au point A,, et par suite la droite hKti parallèle à huY est la trace du même plan d'ombre sur le plan horizontal de l'avant-dernière marche. En relevant les points i, t, u, v en i\ V \ u'f v'f et déterminant la trace /', sur le plan vertical XY, du rayon qui passe par le point (H, G'), on a les extrémités des lignes d'ombre q'i', t'u! et \fj' : ces trois droites doivent être parallèles.

Le plan d'ombre de la quatrième arête (HG, G') est perpendiculaire au plan vertical, et par suite les lignes de l'ombre portée sont projetées sur sa trace G'/ parallèle à SV.

La détermination des ombres portées par les arêtes de la porte, et par celles qui se projettent horizontalement sur la droite AD, ne présente pas de difficultés.

(' ) Le giron d'une marche est la face sur laquelle on pose le pied.

IIP Exercice. — Ombres d'une maison. (PI. IV cl r.)

325. On propose de déterminer les ombres d'une maison donnée par un plan et une élévation {fig. i88et 189). Les rayons de lumière sont parallèles à la droite (S*, SV).

Nous construisons d'abord une projection auxiliaire sur un plan perpendiculaire aux deux premiers (Jig. 190). Pour avoir la nouvelle projection S', s' du rayon, il suffit de prendre sur l'horizontale du point S' une longueur s"&t égale à sst (art. 34).

Chacun des plans qui reçoivent l'ombre est perpendiculaire à l'un des trois plans de projection, et par suite on détermine facilement le point où il est rencontré par un rayon de lumière.

326. La construction de l'ombre sur le sol présente peu de difficultés. Nous avons représenté sur la fig. 195, faite à une échelle triple, quelques détails qui présentent de l'intérêt.

Les droites j\j et i, 1 parallèles à S$ sont les ombres des arêtes verticales 2\ J' et ftr. L'ombre de l'horizontale }\ a' est la parallèle à cette droite menée par le pointy'o de sorte que le rayon de lumière qui arrive au point i2 rencontre les arêtes l\Y et J'ta' en des points f2 et V. Le segment \i\ porte ombre sur le sol, et le reste de l'arête a'J't sur le plan vertical ri', j3't qui forme le larmier; elle y dessine une horizontale qui a son origine au point l'2.

Des dispositions analogues, et qui par conséquent n'ont pas besoin d'être analysées, se présentent pour les ombres des arêtes l\ [i\ et L^y'.

Si Ton veut avoir les ombres de la façade sans recourir à celles qui sont portées sur le sol, on tracera une droite a/3yo parallèle à Ss, et Ton étudiera la disposition des rayons de lumière dans le plan vertical dont cette ligne est la trace; on obtient sans difficulté les ombres /3' , à' et e^ des points (a, a'), (]3, jS'J et (7, •/).

327. Le plan d'ombre de l'arête (ff«, t) de la cheminée rectangulaire {fig. 188 et 189) a pour trace sur le plan vertical de projection qui lui est perpendiculaire la droite l'g'é\ il rencontre la droite (AB, A'B'), faite de la maison, au point (g, g')9 et le plan voisin des toits des fenêtres le long de la droite (eet9 é). On opère d'une manière analogue pour les autres plans d'ombre de la cheminée.

Pour déterminer l'ombre des fenêtres sur le toit, il faut recourir à lay?#. 190.

Cylindre, cône et sphère.

Tr Exercice. — Ombre d'une cheminée ronde. (PL F.)

328. Les lignes qui limitent l'ombre propre sur les cylindres et sur les cônes sont les génératrices de contact des plaus tangents parallèles aux rayons de lumière (art. 132). En général, on détermine très-facilement ces droites.