CHAPITRE 1. — OMIMES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES

La maison représentée* sur la PL IV a une cheminée cylindrique dont les ombres ont été construites sur \esfig. 191, 192 et 193, qui sont à une échelle triple de celles de la PL IV.

La droite HC, parallèle à S* et tangente à la base du cylindre de la cheminée, est la trace de l'un de ses plans d'ombre. Les projections verticales c'C {fig. 192) et c"C" {fig. 193) du rayon extrême contenu dans ce plan passent par les points c'et c", qui correspondent à c\ sa trace C" sur le plan B"R" fait trouver le point (C, C) où se termine la ligne d'ombre (HC, H'C). La génératrice de contact H'H', prolongée jusqu'au rayon c'C est une ligne d'ombre propre de la cheminée. On détermine de la même manière la trace (LD, L'D') de l'autre plan d'ombre sur le toit, et la ligne d'ombre propre (L, L'L't ).

On obtient facilement l'ombre (|3, /3') portée par un point («f a') du cercle inférieur du couronnement sur le cylindre de la cheminée; la courbe lieu des points (3; s'étend de L', à H',. Le rayon c'C la touche en H'«, car il se trouve dans les plans tangents des deux cylindres dont cette courbe est l'intersection.

On détermine sans difficulté sur le cylindre du couronnement les génératrices v\i/ et u\ u! qui forment lignes d'ombre.

L'arc (cç9 cVt) projette une ombre (CV,, C'V',) que l'on obtient par points, en considérant les rayons sur le plan vertical de la fig. 193. On détermine ensuite l'ombre V, V portée par la génératrice (r, vx v')\ sur l'autre côté de la cheminée, on trouve l'arc DU, et la droite U|U.

On obtient les ombres portées par l'arc (uev> u't'v') sur les plans PBQ etRBQ, en considérant pour chacun d'eux les rayons sur le plan vertical qui lui est perpendiculaire.

Les courbes se rejoignent sur l'arête BQ en un point I dont il est utile d'avoir la position d'une manière exacte. Pour l'obtenir, nous considérerons les rayons (Bi, B"6")et(Qy, Q'V') Qui aboutissent à deux points (B, B") et (Q, Q") de cette arête, et nous déterminerons leurs traces b et q sur le plan supérieur FV du couronnement de la cheminée. La droite bq de ce plan porterait ombre sur l'arête BQ, et le point i, où elle rencontre le cercle w, a pour ombre le point cherché I. 11 n'y a plus qu'à relever i en i' (fig. 192), et à construire son ombre

On obtient facilement sur le même plan horizontal FVr les droites bp et br qui porteraient ombre sur les arêtes BP et BR. Par suite d'une coïncidence fortuite, la seconde passe par le point f ; il résulte de laque l'extrémité Y de l'ombre de la génératrice v\st (fig. 192) est précisément sur l'arête BR

529. Lafig. 194 représente une coupe de la cheminée par un plan diamétral vertical. La droite a" a' et la courbe a'B' sont les ombres de la génératrice (A, A"A') et de l'arc (AB, A'B'). La courbe a'B' appartient à l'intersection du

cylindre intérieur de la cheminée par le cylindre d'ombre du cercle supérieur ( ABrf, A'B'D'). Ces deux cylindres ayant pour directrice un même cercle se coupent suivant une seconde conique qui est nécessairement une ellipse ( art. 252, i°).

II" Exercice. — Ombres d'un cylindre couc/ie sur un pian horizontal. Rayons parallèles. (Fig. 196.)

330. On propose de déterminer les ombres d'un cylindre de révolution couché sur un plan horizontal. La génératrice de contact est (Aa, A' a'); les bases circulaires sont projetées verticalement suivant deux ellipses identiques, faciles à construire. Nous avons représenté le cerclée'?' sur lequel se projette l'une d'elles (ef, e'f) lorsqu'on la rend parallèle au plan vertical par une rotation autour de la verticale du pointa où elle touche le plan horizontal.

Pour avoir les lignes d'ombre, il faut mener au cylindre des plans tangents parallèles au rayon (SS,, S'S',). Nous allons reproduire la construction donnée pour ce problème a l'article 129, en ayant égard à la disposition spéciale des données.

D'un point (S|f S',) du rayon, nous menons une droite (S,S2, S'jS'a) parallèle aux génératrices du cylindre; le plan passant par cette ligne et par (SS,, S'S', ) coupe le plan vertical B2S de la première base suivant la ligne (SS2, S'S'2). Les intersections du même plan B2S avec les plans tangents cherchés ont pour projections verticales les droites B'B'2 et C'C2 parallèles à S' S'2 et tangentes a la projection verticale de la première base. Les génératrices qui forment séparation d'ombre et de lumière sur le cylindre passent par les points de contact B' et C : ce sont les droites (Bb, B'b') et (Ce, Ce'). La seconde est cachée sur les deux projections.

On peut opérer sur le cercle s'y', et cela est même un peu plus exact. Il est facile de déterminer la position (S<7, SV) que prend la droite (SS2, S'S'2) quand on la fait tourner autour de la verticale du point S jusqu'à la rendre parallèle au plan vertical. Une tangente parallèle à SV fait connaître le point j3 que l'on ramène en b'.

331. On reconnaît, d'après la direction de la projection SS, d'un rayon, que la seconde base est éclairée et que la première est dans l'ombre. La ligne qui sépare la partie éclairée de celle qui est obscure est formée des génératrices (B6, B'6'), (Ce, Ce'), et des deux demi-circonférences b'e'c', B'M'C. L'ombre portée par ce contour mixtiligne sur le plan horizontal se compose des droites B,6,, C,c, parallèles aux génératrices, et des demi-ellipses b{acif B,M,C,.

Un point M,, trace d'un rayon (MM,, M'M',), est déterminé par la rencontre de deux droites MM, et M',M, qui se coupent sous un angle assez aigu. Pour donner plus d'exactitude à la construction, on peut mener par le point (M, M') une