CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES

droite parallèle à (SS2, S'S'2) et chercher sa trace M2 sur B2S. En menant par M, une droite parallèle aux génératrices du cylindre, on a l'ombre de la génératrice qui passe par le point (M, M') ; l'intersection de cette droite avec la ligne MAft donne le point M<.

Les ombres portées peuvent être considérées comme des projections obliques, et par conséquent la tangente M|Kf en un point M! de l'ellipse est l'ombre de la tangente (MK, M'K') au point correspondant du cercle. Pour avoir la première, il suffit donc de chercher l'ombre K, d'un point (K, K') de la seconde : nous l'obtenons parla méthode qui vient d'être expliquée.

La droite Bibi est tangente a l'ellipse en B,, car elle est l'ombre de toutes les lignes contenues dans le plan tangent au cylindre le long de la génératrice B'6'f et notamment de la tangente du cercle au point B'.

Les diamètres du cercle projetés sur B'C et R' L' sont rectangulaires, et par suite leurs ombres B4C{ et R,L, sont des diamètres conjugués de l'ellipse (art. 151).

IIIe Exercice. — Ombre d'un cône percé d'un trou cylindrique. Rayons parallèles. (PL Fil.) *

532. On propose de déterminer les ombres du cône qui a déjà été représenté sur lay*g\ 124. On donne ses deux projections, et l'ombre s de son sommet sur le plan horizontal.

Les droites sa et sd, tangentes à la base du cône, sont les traces horizontales des plans tangents parallèles aux rayons de lumière et les limites de l'ombre portée sur le plan horizontal. Les génératrices de contact (Sa, S'a'), (Srf, S'rf') sont les limites de l'ombre propre. Ces droites se trouvent interrompues aux points(A, A'), (À,, A',), (D, D') (D,, D,) ; leurs ombres sont par conséquent limitées aux points correspondants a, a,, c? et d«.

333. Il faut maintenant construire sur le plan horizontal les ombres des deux courbes de pénétration. On détermine la trace jx du rayon de lumière qui passe par un point M de l'une d'elles, sans recourir au plan vertical, en remarquant qu'elle doit être sur l'ombre sm de la génératrice SM/w. L'ombre de la courbe DMR passe par les points 5 et o,, est tangente en ces points à la droite sd limite de l'ombre sur le plan horizontal, et touche aussi la droite w ombre de la génératrice Sr qui, dans l'espace, est tangente à la courbe de pénétration.

On construit de la même manière l'ombre Xs de la courbe ALT. La lumière arrive sur la partie du plan horizontal qui est comprise dans l'intérieur des deux lignes que nous venons de déterminer.

La direction des génératrices du cylindre creux est donnée, sur chaque plan de projection, par les tangentes communes aux deux courbes de pénétration. En menant du sommet (S, S') une droite (SK, S'K') parallèle a cesjignes, nous

pourrons déterminer la trace SK d'un plan parallèle aux rayons et aux génératrices du cylindre. Les courbes àyz et ayr doivent admettre des tangentes communes f\ et j3e, parallèles a sK : ces droites sont les traces de plans qui sont tangents au cylindre, et parallèles aux rayons de lumière.

334. La ligne d'ombre sur le cylindre creux est l'intersection de cette surface et du cylindre d'ombre qui a pour directrice la courbe DRM et pour trace horizontale dyr. On construit cette intersection parla méthode ordinaire (art. 223, 234). Une droite (jlv, parallèle à*K, peut être considérée comme la trace d'un plan parallèle aux génératrices rectilignes des deux cylindres. Ce plan auxiliaire coupe le cylindre d'ombre suivant les droites jxM et vN, et le cylindre creux suivant deux droites qui passent par les points M et N. Les points I et i où se rencontrent ces lignes appartiennent à la courbe d'ombre; le premier seul est utile (art. 97).

Quand les points fi et v se réunissent, les points M et I se confondent également. L'origne F de l'arc utile correspond donc au point 9 de la trace du cylindre d'ombre où la tangente est parallèle ksK. L'extrémité G de l'arc utile est sur le rayon de lumière qui rencontre les deux courbes d'entrée et de sortie du cylindre, et qui par conséquent aboutit au point de croisement 7. La courbe d'ombre portée sur le cylindre creux a un autre arc utile BT, que l'on obtient de la même manière.

On relève sans difficulté sur le plan vertical les lignes d'ombre ainsi déterminées sur le plan horizontal.

335. \jèi Jig. 197 (Pi. VI) représente, dans la même position par rapport aux plans de projection, et éclairé parles mêmes rayons, le solide retiré du cône% Le périmètre de l'ombre portée sur le plan horizontal est formé des quatre droites aa,, e/3, (?,(?, ç>X et des arcs des courbes déjà déterminées qui se raccordent avec elles. En ramenant les points X, ?, ]5, e en L, F, B, E, puis en L\ F\ B\ E', nous obtenons les génératrices (LF, L'F') et (BE, B'E') suivant lesquelles la surface cylindrique du solide est touchée par des rayons de lumière : ce sont les limites de l'ombre propre. Ces lignes ne sont pas à considérer sur la/g. 198, parce que les rayons qui les rencontrent sont noyés, près le point de contact, dans la partie solide du cône, et n'ont, par conséquent, qu'une existence purement géométrique. Nous dirons que les droites (LF, L'F') et (BE, B'E'), lignes d'ombre réelles sur \zjig. 197, seraient virtuelles sur la^. 198.

Une construction analogue fait trouver sur la partie conique du solide les lignes d'ombre (AAlf A' A',) et (DD0 D'D',).

IVe Exercice. — Ombres d'une niche sptëriquc. — Rayons jxirallèlcs. (Fig. 206.)

336. On propose de déterminer les ombres d'une niche sphérique semblable à celles des Jig. 162 et i63, mais représentée par une élévation sur le plan de