CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES

(été et par une coupe horizontale que l'on peut supposer faite a la hauteur du plan de naissance A'B' de la voûte sphérique. La droite (R, R') donne la direction des rayons de lumière.

L'ombre portée par l'arête (A, A't A') est l'horizontale (Aa, A\a\)9 et la génératrice (a, a\a') du cylindre de la niche jusqu'au point où elle rencontre le rayon de lumière qui passe à l'extrémité A' de l'arête.

On obtient facilement l'ombre (A, A') portée par un point (K, K') de la courbe de tête, sur le même cylindre, en cherchant l'intersection de cette surface avec le rayon (K*, JL't).

L'arc a'fce' appartient à l'intersection du cylindre vertical de la niche avec le cylindre d'ombre qui a pour directrice le cercle A'E'B'. Les plans limites (art. 227) sont les plans (Aa, A'tA') et (B6, B'jB'), qui sont parallèles aux rayons de lumière, et dont les traces verticales touchent la directrice du cylindre d'ombre aux points A' et B\ 11 y a pénétration : l'une des courbes se projette horizontalement sur l'arc aB, l'autre sur l'arc A b. Nous avons négligé la dernière, mais la première a été représentée même dans ses parties non utiles. Nous verrons plus loin comment on détermine sur la droite A'B' la position précise de l'extrémité é de l'arc utile.

337. La tangente en un point A' est l'intersection des plans tangents aux deux cylindres. Les traces du plan tangent au cylindre de la niche sont la droite fa sur le plan horizontal, et la verticale//' sur le plan K,/ parallèle au plan de tête. La trace du plan tangent au cylindre d'ombre, sur le même plan, est la droite K^/7 parallèle à YL'f. La tangente est donc t'kf.

Les droites ht et K| / se rencontrant très-obliquement, il est convenable de tracer d'abord la verticale //' dans une position arbitraire, et de mener ensuite, par son point de rencontre /avec la tangente ki9 une droite /K{ parallèle à BA.

On peut faire les constructions sur le plan horizontal : en le supposant à la hauteur du plan de naissance, il est rencontré par la tangente K'/' de la directrice A'K'B' au point/, et par le rayon de lumière (K*, K'k') au point u\ la trace du plan tangent au cylindre d'ombre le long de la génératrice KT est donc fu; cette ligne coupe la trace du plan tangent au cylindre de la niche en un point i qui, relevé sur A'B', donne un point i' de la tangente t'K.

Le plan d'ombre de l'arête A', A' est tangent au cylindre d'ombre de la courbe de tête le long de la génératrice A' a', et par suite les lignes d'ombre sur le cylindre de la niche se raccordent au point a'.

338. L'arc e'G est l'intersection du cylindre d'ombre avec la sphère. On le détermine en coupant les surfaces par des plans perpendiculaires au plan de tête et parallèles aux rayons. Pour que la construction soit facile, il faut prendre un plan de projection parallèle aux plans sécants, de manière que les cercles d'in-

tersection sur la sphère se projettent en vraie grandeur. La trace de ce plan avec le plan de tête est une droite X" Y" parallèle à R'.

Le plan sécant qui passe par le centre (C, C) a pour trace verticale la droite M'C parallèle à R' : il coupe la sphère suivant un cercle dont nous traçons sans difficulté la projection M"M* sur le nouveau plan, et le cylindre suivant le rayon de lumière (Me, M'C) dont on détermine la projection M"c", en remarquant que le point c\ sur lequel se projette le point (c, C), doit être à une distance de C" égale à Ce (art. 59). Le rayon MV coupe le cercle M"M* en un point fx" que nous ramenons en p..

Les sections de la sphère et du cylindre d'ombre par le plan auxiliaire qui a pour trace verticale la droite N'/i' parallèle à M'C sont, en projection, le cercle décrit du point C" comme centre avec N"C" pour rayon, et la droite N"n" parallèle k M"jx". Le point de rencontre n" est ramené en n'.

Les origines M" etN" des arcs concentriques M"jm" et N"/*" se trouvent sur un même rayon, et leurs cordes sont parallèles; ces arcs sont donc égaux en degrés, et par suite les points C", n" et ju." sont en ligne droite. Il en résulte que la projection de la courbe d'ombre est une droite passant par le point C"; la courbe elle-même est un grand cercle situé dans un plan perpendiculaire aux plans auxiliaires, et sa projection verticale, une ellipse dont le grand axe est égal au diamètre de la sphère. La construction montre que cet axe est le diamètre PG situé dans le plan de tête et perpendiculaire à R'; le petit axe est julC'/x,.

Les deux surfaces sont du second degré, et se coupent suivant le cercle (ABf A'M'B'); on pouvait donc prévoir que leur intersection complète comprendrait une seconde courbe plane (art. 252, i°).

En coupant la sphère et le cylindre d'ombre par des plans parallèles au plan de tête, on déterminerait la courbe e'G aussi facilement que par la construction que nous venons d'expliquer. Nous nous contentons d'indiquer cette méthode.

339. Le point é du cercle de naissance, où se joignent les arcs utiles des deux courbes, est sur l'intersection ( A'B\ C'/x") du plan de naissance et du plan de la courbe d'ombre. Si nous considérons un point [f,r") de l'intersection de ces plans, nous déterminerons sa position sur le plan horizontal en prenant le segment Rr égal à RV, et nous pourrons tracer la droite d'intersection Cr; elle rencontre le cercle en un point e qui fait trouver e'.

Les deux courbes ont au point e' une tangente commune, parce que le cylindre de la niche est circonscrit à la sphère le long du cercle de naissance. On construit cette tangente en considérant le point e' comme appartenant, soit à la ligne d'ombre de la sphère, soit à celle du cylindre, soit à une ellipse dont on connaît les axes. Nous avons employé le premier procédé; les traces sur le plan de tête du plan tangent au cylindre d'ombre, et du plan de la courbe sont E'e et PG : leur point de rencontre e appartient à la tangente cherchée.