CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES. II

540. Nous n'ayons pas tracé la projection horizontale de la courbe d'ombre portée sur la sphère, parce qu'elle présente peu d'intérêt; mais il serait trèsfacile de déterminer celte ellipse : son centre est en G; la droite Ce est la moitié de son grand axe; en projetant le point G sur AB, on aurait un point de la courbe, et l'on construirait ensuite la longueur du petit axe (art. 299).

541. Si le demi-cylindre et le quart de sphère représentés sur la fig. 206 étaient en relief, il n'y aurait pas de lignes d'ombre portées sur les surfaces, mais seulement des lignes d'ombre propre qu'il serait très-facile de construire. Nous ne nous arrêterons pas à ce problème; nous voulons simplement faire remarquer que les lignes d'ombre à considérer sur une surface sont différentes, suivant que la partie solide se trouve d'un côté ou de l'autre.

Surfaces de révolution.

Ier Exercice. — Rayons divergents. — Points lumineux dans une position quelconque.

(Pi. XII.)

542. Lorsqu'une surface courbe est éclairée, le lieu des points de contact des rayons qui lui sont tangents forme la ligne qui sépare la partie éclairée de celle qui est dans l'ombre : nous l'appellerons quelquefois séparatrice. On peut la déterminer, soit en coupant la surface par des plans passant par le point lumineux et menant de ce point des tangentes à la section, soit en construisant des plans tangents contenant le point lumineux, et cherchant leur point de contact. Cette dernière méthode est la plus employée; nous allons l'appliquer à la recherche des ombres d'un corps engendré par la révolution, autour de l'axe O'O", de Taire 0'AVA"0" composée d'un rectangle et d'un demi-cercle. Les rayons divergent du point (S, S').

545. Premier procédé : cônes circonscrits. — Proposons-nous de trouver les points de la courbe d'ombre situés sur un parallèle (RMN, R'M'N') choisi arbitrairement : si la droite X'^, tangente de la méridienne en R', accompagne cette courbe dans son mouvement de rotation autour de l'axe, elle engendrera un cône qui sera circonscrit à la surface le long du cercle décrit par le point (R, R') ('); on voit, en effet, qu'en chacun de ses points les plans tangents des deux sur-

( * ) Une surface est circonscrite à une autre ou lui est inscrite, quand elle a les mômes plans tangents en tous les points d'une ligne commune. Ces expressions n'impliquent pas d'ailleurs une idée de grandeur relative nécessaire : ainsi la surface que Ton dit circonscrite, parce qu'elle contient l'autre surface dans la disposition spéciale du système géométrique considéré, peut très-bien, pour une autre disposition des données, être renfermée dans celle-ci.

faces se confondent, parce qu'ils contiennent deux mêmes droites, la tangente du méridien et celle du parallèle. Donc, si par le point lumineux (S, S') nous, menons des plans tangents au cône, les points où les génératrices de contact rencontreront le parallèle considéré appartiendront à la courbe d'ombre de la surface de révolution.

Nous prenons pour plan horizontal d'opération le plan xy situé a la hauteur du point lumineux. Tous les tracés seront d'ailleurs projetés sur le plan horizontal qui correspond à la ligne de terre T'A'.

Le cône circonscrit a son sommet sur l'axe (0,0'0;/); sa trace horizontale est le cercle Xav. Les traces des plans tangents à cetle surface sont les tangentes Sfict Sv; les génératrices de contact ont pour projections horizontales Ofi et Ov; enfin les points M et N, où elles rencontrent la projection du parallèle, appartiennent à celle de la courbe : on les relève verticalement en M' et enN'.

11 est important de remarquer que si le parallèle considéré et la trace Xav du cône étaient sur des nappes différentes de cette surface, ce que l'on reconnaîtrait facilement sur le plan vertical, il faudrait prendre les intersections du parallèle avec les prolongements des droites analogues à jxO et vO au delà du point 0.

Pour éviter de tracer les tangentes S/jl et Sv, et déterminer avec précision les points de contact /x et v, on décrit un cercle sur OS comme diamètre.

Le point (M, M') est vu sur les deux projections, parce qu'il est en avant du méridien principal, et sur la partie supérieure du corps, au-dessus du parallèle du plus grand rayon. Le point (N, N') est vu sur le plan horizontal et caché sur le plan vertical.

544. Nous avons trouvé deux points M et N sur le parallèle, parce que le point S est en dehors du cercle Xav; la courbe d'ombre n'aurait pas de point sur le parallèle considéré, si la trace du cône auxiliaire renfermait le point S; et enfin elle serait tangente au parallèle, si le cône avait pour trace, sur le plan horizontal xy, le cercle SS, décrit du point 0 comme centre avec OS pour rayon. D'après cela, pour déterminer les parallèles qui sont touchés par la courbe d'ombre, il sulïit de relever le point S, en Si9 et de mener par S\ des tangentes S^P'et S',// a la méridienne : chacun des points de contact P' et/?' appartient à un des parallèles cherchés. Il résulte d'ailleurs de la construction générale de l'article précédent que les points MetN, où la courbe d'ombre rencontre un parallèle, ont des positions symétriques par rapport au plan méridien SO, et par suite qu'ils ne peuvent se réunir que dans ce plan ; les points (I, V) et (if *'), où les parallèles des points P' et// percent le plan SO, sont donc ceux où ils sont touchés par la ligne d'ombre. L'un est le plus élevé de cette courbe, et l'autre celui qui l'est le moins.