CHAPITRE I. — 0MBRE8 SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES. l
345. Le long du parallèle (EUV, EV) qui a le plus grand rayon, le cône circonscrit se change en un cylindre vertical; les plans tangents sont verticaux, et ceux qui contiennent les points de la courbe d'ombre ont pour traces horizontales les droites SU etSV tangentes à la projection du parallèle, et passant par le point S. Le cercle OjxS détermine la position des points de contact U et V; ces points limitent la partie vue delà courbe en projection horizontale : on les relève en U' et en V.
546. Deuxième procédé : cylindres circonscrits. — Au lieu de se donner des parallèles, on peut choisir des méridiens, et la même construction faite en ordre inverse résoudra le problème. Si Ton considère le méridien dont la trace est OfxM, son intersection /xavec le cercle OS sera ramenée en X, puis relevée en X'. On tracera ensuite les tangentes X'R'etXV qui feront connaître les parallèles R'M'N' etr'mV; les intersections M et m de leurs projections horizontales avec la droite OM appartiendront à la courbe. Les points X' et r' étant de côtés différents de l'axe, le point m devra être pris au delà du point 0 par rapport au point |x.
Cette construction est suffisamment établie par les raisonnements des articles précédents, car, lorsqu'elle est terminée, on peut supposer que ce sont les parallèles qui ont été donnés; mais on peut la démontrer directement.
347. Les tangentes des parallèles, aux points où ils coupent le plan méridien MO/71, forment un cylindre circonscrit perpendiculaire à ce plan. Tout plan tangent à ce cylindre est tangent à la surface de révolution en un point du méridien considéré. Le problème est donc ramené à déterminer des plans contenant un point (S, S') et tangents à un cylindre. Cette question a été traitée à l'article 128; nous allons reproduire la solution, en ayant égard à la manière dont les données sont disposées.
La droite (S/x, S'jx') est parallèle aux génératrices du cylindre, et le point (jx, {/.') où elle rencontre le plan MO m appartient aux traces des plans tangents cherchés, sur le plan méridien. Si nous faisons tourner ce plan de manière à le rendre parallèle au plan vertical, le point (/x, /x') se transportera en (X, X'), et les tangentes X'R' et XV seront les traces des plans tangents : leurs points de contact R' et r' reportés dans le plan méridien en (M, M') et (m, m') appartiendront à la courbe d'ombre.
348. Les tangentes S' Q' et S'y' sont les traces verticales des plans qui contiennent le point (S, S') et qui sont tangents au cylindre circonscrit à la surface le long du méridien de front. La projection verticale de la courbe d'ombre rencontre le contour apparent en Q' et en q\ et lui est tangente en ces points.
L'horizontale xy ne rencontrant pas le méridien principal, quelle que soit la position du point X', on pourra mener deux tangentes X'R' et XV, et par suite la courbe a deux points dans chaque plan méridien.
l4 LIVRE V. — OMBRES LINÉAIRES.
549. On emploiera l'un ou l'autre des deux procédés que nous avons expliqués, d'après la nature de la méridienne, suivant qu'il sera plus facile de mener une tangente à cette courbe par un point pris sur elle, ou de déterminer le point de contact d'une tangente. Pour une courbe graphique (art. 98), la première détermination sera en géuéral plus facile.
350. Ombre portée. — Les courbes d'ombre portée sur les plans de projection sont les traces du cône qui a son sommet au point (S, S'), et pour directrice la courbe d'ombre propre. Une génératrice quelconque (SM, S'M') perce le plan horizontal en un point (T, T") qui appartient à la courbe d'ombre portée. La tangente Tg de cette courbe est la trace du plan tangent au cône, qui est également tangent à la surface au point (M, M'); elle est donc perpendiculaire à la trace OM du plan méridien (art. 190).
La tangente Tg peut être considérée comme l'ombre d'une tangente quelconque de la surface en M ; elle est parallèle à la tangente MJ du parallèle. L'ombre OfT du rayon horizontal OM est perpendiculaire à la tangente Tg, carie rayon OM et son ombre 0{T sont parallèles ; par conséquent les normales à la courbe d'ombre portée d'une sur/ace de révolution sur un plan horizontal sont les ombres des horizontales qui joignent les points de la courbe d'ombre propre à l'axe vertical de la sur/ace.
On voit qu'il est très-facile de construire les tangentes de la courbe d'ombre portée, tandis que nous n'avons encore exposé aucun procédé pour tracer les tangentes à la courbe d'ombre propre. La construction qui sur la figure fait trouver la tangente «M de la courbe au point M ne sera expliquée que dans la troisième Partie de cet Ouvrage (art. 878).
Les droites SU et SV qui passent par le point S, et touchent le contour apparent de la surface sur le plan horizontal, forment le contour apparent du cône d'ombre, et sont par conséquent tangentes à la courbe d'ombre portée aux points v et u qui correspondent à V et U.
IIe Exercice. — Rayons divergents. — Points lumineux dans le plan méridien de front.
(Fig.nl.)
351. Le plan vertical de projection étant parallèle au plan méridien qui contient le point lumineux (S, S'), les deux points M et M< d'un parallèle qui appartiennent à la ligne d'ombre ont une même projection verticale M', et la courbe, sur le plan vertical, s'arrête aux points Q' et q' où elle rencontre le méridien principal; elle est prolongée par une partie parasite que les constructions exposées aux articles précédents ne font pas connaître, parce que ses points ne correspondent pas à des points de la projection horizontale de la courbe. Pour
