CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES. l

déterminer cette partie, nous allons chercher un tracé qui donne les points de la projection verticale directement, sans faire intervenir la projection horizontale.

Les triangles rectangles OS|x et OMF sont semblables, et par suite nous avons

0/x:OS::OF:OM

ou bien

Ainsi les droites 0"0', X'M' et S' m! partagent en parties proportionnelles les horizontales 0"S' et O'm', et par conséquent convergent vers un même point M". D'après cela, pour obtenir le point M' situé sur l'horizontale m\m'9 on peut tracer la tangente m'X', puis la sécante S' m', et joindre par une droite les points X' et M" où elles rencontrent, Tune l'horizontale du point S', et l'autre Taxe. On trouverait le même point M' en opérant sur la tangente m\}!i de la méridienne inverse, ainsi qu'il est indiqué sur la figure.

Cette construction fait trouver un point sur la trace verticale du plan de chaque parallèle. Quand la trace considérée passe entre les points Q' et q\ le point est en dedans du contour apparent; dans le cas contraire, le point tel queB' est en dehors de ce contour, et par conséquent parasite.

352. La construction montre que la droite A\ A' rencontre la projection de la ligne d'ombre en un point situé à l'infini. Sa parallèle b'W passe par ce point; si elle se transporte parallèlement à elle-même jusqu'à coïncider avec A'! A', le point B' ira rejoindre celui que nous considérons à l'infini. La droite A'tA' est donc asymptote de la courbe M' q'B' (art. 92); la droite A* A" l'est également.

La courbe paraît s'arrêter à l'infini, mais cela tient à ce que nous ne nous sommes occupé que de la surface engendrée par la révolution du demi-cercle A' m! A". Si nous avions étendu les constructions à la surface complète, ayant pour méridienne un cercle entier, nous aurions trouvé que la projection verticale de la ligne d'ombre se compose de deux parties qui se rejoignent à l'infini (art. 182, 183). Ces parties correspondent à deux branches généralement distinctes, mais qui se réunissent quand le point lumineux est dans le plan du parallèle supérieur ou dans celui du parallèle inférieur. Nous donnerons plus loin quelques indications sur ce cas particulier (art. 8-79).

353. Si nous voulons construire la courbe par la méthode de l'article 346, pour avoir les points M et N situés dans un plan méridien Of/., il faudra ramener le point fi en X, le relever ensuite en X', et mener de ce point des tangentes a la méridienne : les points de contact m! et n' feront connaître les parallèles sur lesquels sont les points cherchés. Il y en a deux, parce que le point X' est exté-

l6 LIVRE V. — OMBRES LINÉAIRES •

rieur à la méridienne; s'il était en / sur cette courbe» les points ni et n'se confondraient en ce point, et le plan méridien ne contiendrait de la ligne d'ombre qu'un seul point situé sur le parallèle qui est à la hauteur du point lumineux. On voit d'après cela que, si l'on projette •/ en 7, et qu'on ramène 7 en C et en C, sur le cercle OS, les points C el C, appartiendront à la courbe d'ombre, et que les droites OC et OC, seront les traces des plans méridiens qui la touchent.

354. Il est facile de reconnaître que, si le point lumineux était dans le plan horizontal EV qui contient le cercle décrit par le centre de la méridienne, la projection horizontale de la courbe d'ombre aurait des parties parasites. On détermine facilement ces parties quand la méridienne est un cercle, ou une conique ayant l'un de ses axes parallèle à l'axe de révolution. Nous ne nous arrêterons pas à cette question. On peut remarquer que la construction que nous avons donnée pour les arcs parasites sur le plan vertical est toujours applicable, quelle que soit la méridienne.

355. Les rayons (SQ, S'Q') et {Sq9 Sy ) sont parallèles au plan vertical, et par suite l'ombre portée sur ce plan a deux branches infinies. Les asymptotes sont les droites S'Q' et S'q', traces, sur le plan de la courbe d'ombre portée, des plans tangents au cône le long des génératrices qui lui sont parallèles.

Le plan vertical SD, étant tangent au cône d'ombre, sa trace verticale îî' touche la courbe d'ombre portée sur le plan vertical de projection, au point (F, ombre de (D,D').

IIIe Exercice. — Rayons parallèles dans une direction quelconque. (Fig. ai 5.)

356. Les données sont l'axe (0, 0WZ) de la surface, la méridienne mia,m,b\ qui est symétrique par rapport à cette droite, et la direction (R, R') des rayons de lumière.

Premier procédé : cônes circonscrits. — Considérons un parallèle (MN/w,M'N'7w') choisi arbitrairement, et traçons la tangente m'z de la méridienne à l'un des points où il la rencontre : le cône engendré par la révolution de cette ligne autour de l'axe touche la surface aux différents points du parallèle (Mm, M'm') (art. 343); par conséquent, si l'on construit les plans qui sont tangents à ce cône et parallèles à la droite (R,R'), les points où les génératrices de contact rencontreront le parallèle appartiendront à la courbe d'ombre.

Pour plusieurs des parallèles que l'on devra successivement considérer, le sommet du cône sera hors du cadre de l'épure. On lève cette difficulté, et l'on simplifie la construction en abaissant ou en élevant le cône, de manière que son sommet arrive à un point fixe (0, 0'), choisi arbitrairement sur l'axe. La génératrice (0/w, ziri) prend la position (0/x,, O'f/J et le cercle fi, v/x est la trace horizontale du cône transporté.