CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES. — PL. XIV

Par le point (0, 0'), nous menons une droite (Or, OV) parallèle à (R, R') : les plans qui contiennent cette droite, et qui sont tangents au cône, ont pour traces les tangentes r4a et rv du cercle /x,v/x (art. 131). Les génératrices de contact sont projetées sur les lignes O/xet Ov. En relevant le cône jusqu'à sa première position, les projections horizontales de ces génératrices ne changent pas, et les plans tangents transportés parallèlement à eux-mêmes sont encore parallèles aux rayons de lumière. Les points M et N où les génératrices 0[x et Ov rencontrent le parallèle considéré appartiennent alors à la projection horizontale de la courbe de contact : nous les relevons en M' et N'. Ils sont vus sur les deux projections, parce qu'ils se trouvent en avant du méridien principal xy et sur la partie supérieure du solide de révolution.

Un cercle décrit sur Or comme diamètre fait connaître, sur la trace de chaque cône, la position précise des points de contact ju. et v, et dispense de tracer les tangentes rjm et rv.

557. La méridienne de la surface prise pour exemple a un centre 0" situé sur l'axe. Il en résulte que les tangentes du méridien en deux points opposés m! et m\ sont parallèles, et que les deux cônes circonscrits le long des parallèles de ces points se confondent lorsqu'ils sont ramenés à avoir leur sommet en 0'. On trouve ainsi sur le plan horizontal les mêmes génératrices de contact, et les parallèles sont aussi projetés sur un même cercle; mais, comme celui du point m\ est sur la nappe supérieure du cônt$ circonscrit, il faut prolonger les génératrices au delà du sommet 0 jusqu'aux points M{ et N,t qui doivent être ensuite relevés en M\ et Nt.

358. Nous avons trouvé deux points sur le parallèle (M/wf M'/w'), parce que le point r est extérieur à la trace fi^fx du cône auxiliaire transporté. Si ce cercle passait par le point r, les points M et N seraient réunis, et le parallèle toucherait la courbe d'ombre. D'après cela, pour déterminer les parallèles tangents à cette courbe, il suffit de ramener le point r en r, par un arc de cercle décrit du point 0 comme centre, de le projeter eur\, et de mener à la méridienne des tangentes parallèles à 0Vt : les points de contact a' et b' appartiennent aux parallèles cherchés. On obtient ensuite sans difficulté les points (A, A') et (B, B') situés sur ces cercles : l'un est le plus haut et l'autre le plus bas.

On voit d'ailleurs, par la construction même, que les points de la courbe d'ombre sont deux à deux sur des cordes horizontales perpendiculaires au plan vertical rO, et divisées par lui en deux parties égales.

359. Le cône auxiliaire devient un cylindre vertical pour le parallèle FIT qui forme le contour apparent de la surface sur le plan horizontal. La trace horizontale Fil du cylindre est la projection du parallèle, et les traces des plans tangents parallèles aux rayons de lumière sont les tangentes de ce cercle parallèles à R. On obtient leurs points de contact G et E en traçant par le centre 0 une perpen-