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l8 LIVRE V. — OMBRES LINÉAIRES.
diculaire GE à Or. Ces points sont, sur le plan horizontal, les extrémités de l'arc vu de la courbe d'ombre.
560. Deuxième procédé : cylindres circonscrits. — Au lieu de se donner des parallèles, on peut choisir les. méridiens; la même construction, faite en ordre inverse, résout le problème. Si Ton considère le méridien M{OM, son point de rencontre /x avec le cercle Or sera ramené en /xlt puis relevé en /x't ; on mènera ensuite a la méridienne des tangentes parallèles a Of[ii9 et leurs points de contact m' ctm\ détermineront les deux parallèles qui passent par les points de la courbe situés dans le méridien donné.
Cette construction est suffisamment établie par les raisonnements de l'article 356, car, lorsqu'elle est terminée, on peut supposer que ce sont les parallèles qui ont été donnés; mais il est facile de la démontrer directement.
36t. Les tangentes des parallèles aux points où ils coupent le plan MOM, forment un cylindre perpendiculaire à ce plan et circonscrit à la surface de révolution le long du méridien. Le problème peut donc être ramené à la construction de plans tangents a un cylindre et parallèles à une droite, question traitée à l'article 129. Nous allons reproduire la solution, en ayant égard à la manière dont les données sont disposées.
La ligne r\i, perpendiculaire à MM,, est parallèle aux génératrices du cylindre. La droite qui va du point \l au point (0, 0') est parallèle aux traces des plans tangents cherchés sur le plan méridien consfdéré. Si par une rotation autour de Taxe nous ramenons ce plan à être parallèle au plan vertical, le point [i arrivera en jul,, et la droite dont nous parlons sera projetée sur O'^. Les traces des plans tangents seront donc les tangentes m'z etmizi parallèles à O'ju^. Les points de contact (m, m'), (m,, m',), ramenés dans le plan méridien considéré, sont les points cherchés.
On pourra mener à la méridienne principale F'OvII'0,T deux tangentes parallèles à la droite O'/x',, quelle qu'en soit la direction, et par conséquent la courbe d'ombre de la surface considérée a deux points dans chaque plan méridien.
Aux points de la courbe situés sur le méridien de front, les plans tangents sont perpendiculaires au plan vertical. Leurs traces verticales sont donc les tangentes de la méridienne parallèles à la projection R' du rayon de lumière. Les points de contact C et D' de ces droites sont, sur le plan vertical, les extrémités de Tare vu de la ligne d'ombre.
362. Troisième procédé : sphères inscrites. — Considérons un parallèle (/wM, m'M'), et traçons a la méridienne la normale m'i : la sphère qui aurait son centre au point /, où celte droite rencontre l'axe, et iw! pour rayon, serait tangente à la surface tout le long du parallèle. Les points de rencontre de ce cercle avec la ligne d'ombrcédc la sphère appartiendront donc à la courbe que nous cherchons.
La courbe d'ombre de la sphère est un grand cercle situé dans un plan perpen-
