CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES. — PL, XIV

diculaire aux rayons. Par conséquent, si nous faisons tourner tout le système autour de Taxe, de manière que la droite (Or, OV) prenne la position (Or, , O'r , ) parallèle au plan vertical, la ligne d'ombre de la sphère se projettera sur une droite passant par le centre i, et perpendiculaire a 0'r\. Nous n'avons trace de cette droite que le segment tY, utile à la construction. Le point e' est la projection de deux points de contact qui appartiennent au parallèle commun à la surface de révolution et à la sphère. La projection horizontale € de ce point doit être ramenée dans sa véritable position e; la droite MeN perpendiculaire a Or est alors la projection horizontale de la ligne qui se projetait verticalement en e'. Elle détermine les points M et N sur le parallèle considéré mK m.

363. Si l'on trace la droite m'k parallèle à 0'rlf et par le pointa une ligne parallèle à la tangente m'z, cette droite coupera la projection m'W du parallèle au point e', car les perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle m'ik sur les côtés opposés se rencontrent en un même point e'. Cette construction, n'exigeant que des parallèles, est un peu plus facile que la précédente, dans laquelle il faut abaisser des perpendiculaires.

364. La construction fait trouver un point e' sur toute droite M'/n' trace du plan d'un parallèle, mais quelquefois elle le donne en dehors de la méridienne de front, et alors le point e n'est pas dans l'intérieur du parallèle, et ne correspond à aucun point de la surface.

Le point e' est la projection d'un point de la courbe d'ombre pour des rayons parallèles à (Orf, O'r'J. Lorsqu'il est en dehors du contour apparent de la surface, il appartient à la partie parasite que la courbe doit avoir sur le plan vertical, lorsque les rayons sont parallèles à ce plan (art. 351). Nous avons donc un moyen facile de déterminer les points parasites.

En appliquant les raisonnements de l'article 352, on voit que la courbe lieu des points e' a en général pour asymptotes les tangentes horizontales de la méridienne; mais quand les points 0IV et Ov, où les tangentes sont horizontales, se trouvent sur l'axe même, la construction n'indique plus sur ces droites des points à l'infini. Dans ce cas, si la méridienne est une courbe graphique, le lieu des points e' s'arrête brusquement aux horizontales des points 01V et Oy (*).

365. On peut employer le procédé des sphères inscrites dans le cas des rayons divergents, mais alors, pour déterminer le cercle d'ombre de chaque sphère considérée, il faut tracer le grand cercle situé dans le plan méridien principal, et lui mener des tangentes du point lumineux ramené dans ce plan par une rotation. Cette construction peut être employée comme exercice graphique.

(') Le lecteur qui voudrait avoir des détails plus étendus sur les arcs parasites des projections des courbes d'ombre des surfaces de révolution pourrait consulter le Mémoire que nous avons publié dans le XXXV* cahier du Journal de V École Polytechnique (i853).

366. La surface (FH, F'H') {fig. ai5) est un ellipsoïde, et par conséquent sa ligne d'ombre est une courbe plane (*), une ellipse. Les axes de sa projection horizontale sont AB et GE. Les droites A'O'B' et G'O'E' sont des diamètres conjugués de la projection verticale.

Si Ton fait tourner tout le système autour de Taxe, jusqu'à ce que la droite (Or, OV) soit de front, les points A' et B' iront en a' et b\ et la courbe d'ombre se projettera sur le diamètre a'0"b' conjugué avec la direction des tangentes en a! et en b'f qui est celle du rayon 0'r\ . Ce diamètre passe nécessairement par le point s'.

367. On peut déduire des constructions précédentes un moyen pour tracer la tangente en un point donné ni d'une ellipse dont on connaît un axe 0"Z, un diamètre a! V et une droite OV t parallèle au diamètre conjugué de ci b'. Si, en effet, on trace les lignes m'k et mY, l'une parallèle à 0'r\9 l'autre perpendiculaire à 0"Z, la droite déterminée par les points de rencontre e' et k sera parallèle à la tangente en ni .

Pour déterminer sur une ellipse les points où la tangente est parallèle à une droite donnée, on tracera à une distance arbitraire une droite z'k parallèle à cette tangente {fig. 2i5 ou 258), et par les points £ ete\ où elle rencontre l'un des axes et un diamètre quelconque a! b', on tracera les droites km! et e'/n' respectivement parallèles au diamètre conjugué de a' b' et au second axe. Si le sommet ni du triangle l'kni est sur l'ellipse, il sera l'un des deux points cherchés; dans tous les cas, il déterminera un diamètre 0"ni qui passera par ces points, car 0" est évidemment un centre de similitude de tous les triangles ainsi formés (2).

368. Transformation qu'éprouve la ligne d'ombre d'une surface de révolution éclairée par des rayons parallèles, lorsque l'on considère la surface engendrée par la méridienne transportée dans son plan parallèlement à elle-même. — Supposons maintenant que la méridienne ait été éloignée de l'axe par un mouvement de translation dirigé perpendiculairement à cetle droite, et considérons la surface qu'elle engendre dans sa révolution.

Si l'on transporte la première surface de manière que son méridien (FH, F'0IyH')

(') Il sera démontré dans le Livre VII, à l'occasion de l'hyperboloïde, que les lignes d'ombre des surfaces du second ordre sont des courbes planes (art. 716).

(2) Il est facile de voir que Ton peut remplacer les axes par un second système de diamètres conjugués : on établit d'abord le théorème pour le cercle, puis on l'étend à l'ellipse en faisant une projection. La construction, étant démontrée pour l'ellipse, et ne s'appuyant que sur des lignes et des points qui subsistent dans l'hyperbole, s'applique naturellement à cette courbe.

Pour démontrer la construction dans le cas du cercle, il suffît de remarquer que sur une figure faite pour cette courbe les droites X-/«/ et im' [fig. a58) seraient respectivement perpendiculaires aux diamètres a'b' et 0*/ comme étant parallèles aux diamètres qui leur sont conjugués, et que, les trois hauteurs du triangle OVX* devant se couper en un môme point, le diamètre 0*///' serait perpendiculaire à i'k.