CHAPITRE I. — OMBRES SUR LES FIGURES GÉOMÉTRALES — PL. XIV

aille coïncider avec le méridien (F^i, F^e/H^) de la seconde, les deux surfaces seront tangentes le long de celte ligne. Comme d'ailleurs les rayons de lumière sont parallèles, la ligne d'ombre de la surface transportée ne sera pas modifiée. Les points C, et D<, nouvelles positions des points C et D, appartiendront donc à la projection horizontale de la ligne d'ombre de la seconde surface. Cette courbe a sur la droite xy deux autres points correspondant à la méridienne transportée en sens inverse, et dont un seul, C2, a pu être placé sur la figure. On opérera de la même manière pour un méridien quelconque 00<; chaque point de l'ancienne ligne d'ombre sur le plan horizontal sera ainsi transporté, d'un côté comme de l'autre, de la longueur constante Oo> dont tous les points de la méridienne ont été déplacés.

La projection horizontale cty . . . , 79. . . étant déterminée, on obtient facilement la projection verticale $'<{/. . . , y'<p\ . . .

La construction que nous venons d'exposer permet de tracer rapidement, dans le cas de rayons parallèles, les lignes d'ombre des surfaces engendrées par la révolution d'une courbe du deuxième degré autour d'une droite située dans son plan et parallèle à l'un de ses axes. Tout le tracé sur le plan horizontal se réduit alors à construire une section conique et à transformer cette courbe en augmentant tous les rayons vecteurs d'une quantité constante (*).

369. Nous allons rechercher comment on peut obtenir les tangentes de la nouvelle ligne d'ombre lorsque l'on connaît celles de la première courbe 6E.

Soient Om et On (Jïg. 216) les rayons vecteurs de deux points m et n d'une courbe, et mg un arc de cercle dont le centre est à l'origine 0. Si l'angle mOn est assez petit pour que le triangle mgn puisse être considéré comme rectiligne, on aura

tanggvw/i = ~^—~^^ ' Om x nOm

Supposons maintenant que l'on augmente les rayons vecteurs de tous les points de la courbe considérée d'une longueur mM constante, mais d'ailleurs arbitraire; le triangle gmn deviendra GMN, et l'on pourra écrire

GN gn

tangGMN =

OM X ftOM OM X nOm

Les tangentes trigonométriques des angles gmn et GMN sont donc inversement proportionnelles aux rayons vecteurs Om et OM.

(f) Cette construction a été donnée par M. Dunosme (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 20 semestre de 1857).

Maintenant, traçons mK et OK respectivement perpendiculaires à mn et Ont, et joignons KM : les tangentes trigonométriques des angles KmO et KMO sont inversement proportionnelles aux rayons vecteurs Om et OM, mais KmO est égal à gmn

comme formé par des perpendiculaires ; donc KMO est égal à GMN, et KM est perpendiculaire à MN.

Les droites indéfinies mn et MN sont, à la limite, tangentes aux courbes; les lignes mK et MK sont donc normales, et par conséquent on peut exprimer le résultat auquel nous sommes arrivé en disant que les sous-normales de la transformée sont égales à celles de la courbe primitive.

D'après cela, si l'on élève des normales à l'ellipse GE (fig. 21 5) en des points a et /3, les points p et c où ces droites seront coupées par le diamètre perpendiculaire à a/3 seront sur les normales de la transformée aux points homologues a<

IVe Exercice. — Rayons parallèles ayant leurs projections inclinées à 45° sur la ligne de terre. —

Méthode des projections obliques, [Fig. 217.)

370. Une méthode assez commode, et souvent employée pour déterminer les lignes d'ombre des surfaces, consiste à choisir un certain nombre de génératrices convenablement espacées, et à déterminer leurs ombres sur un plan. Pour une surface de révolution, on prend des parallèles; l'ombre de chacun dfeux sur un plan perpendiculaire à Taxe est un cercle de même grandeur.

571. Considérons un vase ayant la forme du solide de révolution représenté sur la y?g\ 217; nous déterminons facilement sur le plan horizontal les ombres du carré supérieur du socle et de différents parallèles. Nous avons fait cette construction sur la figure spéciale 218, en supposant le vase éloigné du plan vertical.

L'ensemble des cercles de cette figure fait connaître avec exactitude le périmètre de l'ombre que projetteraient sur le sol des disques minces qui occuperaient la position des parallèles, et d'une manière approximative la ligne de l'ombre portée par la surface de révolution.

Celte courbe doit être tangente à tous les cercles, car en considérant les ombres sur le sol comme des projections obliques, nous pouvons leur appliquer les raisonnements que nous avons faits à l'article 149 pour les contours apparents : en un point de la courbe d'ombre propre, le plan tangent est parallèle aux rayons de lumière, et par conséquent il projette obliquement sur sa trace toutes les lignes

(') Cette construction est celle que Ton emploie pour les tangentes des conchoïdes. On la rattache généralement à la méthode de M. Chasles pour les normales à la courbe décrite par un point d'une figure de forme invariable (Aperçu historique, p. 548) ; mais nous avons dû présenter une démonstration plus élémentaire.