CHAPITRE II. — OMBRK8 SUR LES FIGURES AXONOMÉTR1QUES ET CAVALIÈRES

pas été tracé, est vertical. La droite CL, perpendiculaire à la direction isométrique CC, est la moitié du grand axe (art. 509).

Les rayons de lumière sont parallèles à la droite R, et leurs projections horizonteles, à la droite R,.

383. Les droites A, aK et Aa, respectivement parallèles à R, et à Rf font trouver l'ombre A, a, a de l'arête A, A sur le plan horizontal de la marche supérieure, et sur le plan vertical dont la trace est kxa{.

Ce plan étant parallèle au plan de tête, tous les rayons de lumière Aa, Ee, . . . ont la même longueur entre la courbe de tête et son ombre. Les deux lignes AEK et aek sont identiques : ce sont des projections sur un même plan des intersections d'un cylindre par deux plans parallèles.

• Pour avoir la position précise du pointa où la courbe d'ombre rencontre l'arête verticale, on trace £,K| parallèlement à R,, et relevant le point K, sur la courbe de tête, on obtient le point K dont l'ombre est le point cherché.

384. L'ombre de la courbe de tête sur l'intrados (• ) de la voûte est l'intersection de deux cylindres du second degré qui ont une directrice plane commune, la courbe ANB; nous concluons de là que la ligne d'ombre est plane (art. 252, i°); c'est une ellipse, mais nous la construirons sans avoir égard à ses propriétés spéciales, et par la méthode générale que nous avons fait connaître pour les intersections des surfaces cylindriques (art. 223).

En menant du point aK des droites at¥ et a, y respectivement parallèles à R et à A,B,, on détermine, sur le plan de tête, la trace F 9 du plan passant par le point ai et parallèle aux droites R et£,B, qui déterminent les directions des génératrices des deux cylindres.

Une sécante NN\ parallèle à Fp, peut être considérée comme la trace d'un plan sécant auxiliaire. Par conséquent, le rayon de lumière qui passe par le point N rencontre la génératrice de l'intrados qui aboutit en N'. On détermine ainsi un point n de la courbe de l'ombre portée.

Les traces, sur le plan de tête, des plans tangents aux deux cylindres sont les tangentes N/ et N't : leur intersection / appartient à la tangente m de la courbe d'ombre au point n.

Lorsque les points N et N' se réunissent, le triangle NN'/i se réduit à un point; l'extrémité de l'arc utile se trouve donc au point où la tangente à la courbe ANB est parallèle à NN' ou à Fp. Son origine est sur la génératrice de naissance Bu, au point u dont on obtient la position précise en menant par le point B une parallèle BU à Fp, et par le point U une droite Uw parallèle à R.

( ' ) L'intrados d'une voûte en est la surface inférieure et concave. L'intrados de la porte que nous considérons est un cylindre qui a pour directrice la courbe de tête AND, et dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de tête. Los génératrices de naissance sont celles qui passent par les extrémités A et B de la courbe de têle.

385. La ligne uk est l'ombre de l'arc UK sur le plan du pied-droit. On l'obtient par la même construction, en regardant ce plan comme un cylindre qui a pour directrice la verticale B,B, et dont les génératrices sont parallèles a B,^. On pourrait aussi obtenir le point où un rayon rencontre le plan du pied-droit, en relevant l'intersection de sa projection horizontale avec B^.

386. En menant aux ellipses qui représentent les cercles inférieurs des cylindres des marches les tangentes a, 7 et j3, î parallèles à R, , on détermine les extrémités a, et |3, des génératrices de séparation d'ombre et de lumière. Les droites ay et|3d, parallèles à R, font connaître les extrémités 7 et d des ombres de ces génératrices.

On obtient l'ombre 5' d'un point /3' de l'arête saillante d'une marche, sur le plan horizontal de la marche voisine, en portant sur la parallèle à R menée par le point (3' une longueur égale h |35. Les arcs 7a? et 5>j sont évidemment identiques à ceux dont ils sont les ombres.

387. Pour construire l'ombre de l'arête /3'p sur le plan de tète, par un point m de cette courbe nous faisons passer un plan parallèle aux rayons de lumière et à la droite B,A,; ses intersections avec le plan supérieur de la marche, le cylindre d'ombre etle plan de tête, sont les droites mmî9 m\L et /w,jx, respectivement parallèles h B, k{ , R et F9. Le point /x, où se rencontrent les deux dernières, est l'ombre de m. L'ombre de la ligne mp sur le plan de tête est l'arc p(i; on obtiendrait deux diamètres conjugués de l'ellipse à laquelle il appartient, en déterminant les ombres des axes ou celles des diamètres isométriques de l'ellipse |5/3'p.

L'ombre yx rencontre en un point x l'arête j3]3'p. Le rayon do lumière qui passe à ce point rencontre l'arête as en un point y, et est l'intersection des cylindres d'ombre des deux arêtes. La courbe p[i n'est utile qu'à partir du point n où ce rayon la rencontre, jusqu'au point vj où elle coupe la ligne de terre du mur. La courbe é7t est l'ombre de Parc ty.

388. Étude des ellipses d'ombre. —Nous avons vu comment on peut construire la courbe kpn\ nous allons maintenant étudier les ellipses auxquelles appartiennent les deux arcs dont elle est formée, et voir quelles relations géométriques elles ont avec l'ellipse perspective de la courbe de tête.

Nous nous occuperons d'abord de l'ellipse d'ombre sur l'intrados de la voûte. La courbe de tête étant ANB {fig. 202), pour obtenir un point /i, on trace une sécante NN' dans une direction donnée, puis deux droites N/i etN'n respectivement parallèles aux rayons de lumière et aux génératrices du berceau.

Si nous ne savions pas que le lieu des points n doit être une ellipse, quand la courbe ANB en est une, il serait facile de le reconnaître. Traçons le diamètre IJ qui passe par le milieu 0 de la corde NN', et joignons le point 0 au point n; ensuite par le centre C de la courbe ANB menons les droites MM' et mm' respectivement parallèles à NNr et à O/i, et concevons que les deux courbes soient rapportées l'une aux axes U et MM', l'autre aux axes U et mm : deux points homo-