CHAPITRE II. — OMBRES SUR LES FIGURES AXONOMËTRIQUES ET CAVALIÈRES

logues N et n auront la même abscisse CO, et des ordonnées ON et on qui seront dans un rapport constant; les équations auront donc la même forme, ce qui prouve la proposition énoncée. Par la construction, les diamètres U et MM' sont conjugués dans la première ellipse : les diamètres IJ et mm' seront donc conjugués dans la deuxième.

Les tangentes aux points homologues N et n rencontrent Taxe IJ en un même point ;.

589. Le quatrième sommet n! du parallélogramme N/iN'/i' appartient à la courbe mn.

Si Ton mène à l'ellipse MNB une tangente VV parallèle à N'/i, cette droite sera le contour apparent du cylindre d'intrados; la seconde ellipse devra donc lui être tangente. On voit ainsi que le parallélogramme formé par les tangentes communes aux deux ellipses a ses côtés parallèles h ceux du parallélogramme NrcN'/i'.

390. Les relations qui existent entre les ellipses résultent uniquement de ce qu'elles ont un diamètre commun IJ; elles se coupent d'ailleurs en deux points autres que I et J, et le diamètre sur lequel ils se trouvent jouit, dans le système des courbes, des mêmes propriétés que IJ. Les deux ellipses sont donc reliées par une seconde suite de parallélogrammes ayant également leurs côtés parallèles aux tangentes communes, et dont Les diagonales sont les cordes conjuguées au nouveau diamètre.

391. Occupons-nous maintenant de la courbe d'ombre sur le parement du pieddroit. La courbe de tête étant ANB {fi g. 201), nous traçons dans une direction donnée une sécante PG qui coupe la tangente verticale BT au point P', et l'ellipse d'abord au point P, puis en un autre point très-voisin de P'. Par les points Pet P' nous menons des droites respectivement parallèles à des lignes données : leur point d'intersection^ appartient à la courbe. Les milieux G et g des cordes correspondantes des deux ellipses sont sur une droite parallèle à Vp.

Le mode de transformation est facile à saisir, et l'on voit que la nouvelle courbe st une ellipse comme la courbe donnée. Le diamètre SH conjugué aux cordes parallèles à PP' a pour homologue le diamètre sh conjugué à la direction pF. Les ellipses ont deux tangentes communes parallèles à Vp.

Dans la transformation, les points de l'ellipse SH sont tous rapprochés de la tangente S'H\ et par suite des deux côtés du point de contact B, la courbe sh se trouve entre la tangente et la courbe SH. Si les données étaient telles qu'un point P s'éloignât de la tangente en passant à sa nouvelle position, tous les points de la courbe primitive s'éloigneraient également de S'H', et près du point B, la transformée serait dans la concavité delà courbe SH. Enfin si la droite P/? était parallèle à S'H\ tous les points de la courbe primitive seraient transportés parallèlement à cette ligne, et la transformée traverserait tangentiellement la courbe SH au point B; elle aurait, par conséquent, un contact du second ordre avec elle.

3o LIVRE V. — OMBRES LINÉAIRES.

Ces résultats dépendent évidemment du mode de transformation, et nullement de la nature de la courbe.

IIe Exercice. — Ombre (Vunc niche représentée par une perspective axonométrique. — Rayons parallèles. (Fig. 208.)

392. Nous nous proposons de déterminer les ombres de la niche représentée sur la figure axonométrique 208 reproduite de la Pi. XLIX de la première Partie de ce Traité. Cette niche est la même que celle dont nous avons construit les ombres sur un plan et une élévation (art. 536-341); nous la supposons éclairée par les mêmes rayons.

La Jig. 209 donne les projections des axes, et leurs inclinaisons (art. 82 et 298). Les trois directions principales sont une horizontale du plan de tête, une verticale et une perpendiculaire à ces deux lignes. Nous appelons plan de front tout plan parallèle au plan de projection.

Les longueurs des projections du rayon de lumière (Me, M'C) {Jig. ao6) sur les directions principales sont MC, Ce et Wd. Nous portons ces segments sur A'tS', B't S' et C'S' [fig. 209), et les projetant sur XY, nous obtenons les grandeurs en perspective des trois projections d'un rayon. Si maintenant nous prenons sur Taxe Sa?, et sur des parallèles aux deux autres axes des segments Sa, a$ et |3d respectivement égaux aux longueurs A\ai9B\pî et C'y, que nous venons de trouver, nous pourrons tracer les droites S 5 et Sj3 perspectives d'un rayon de lumière, et de sa projection horizontale. Les flèches R et R, sont tracées parallèlement à ces lignes.

Nous déterminerons la projection S7 du rayon de lumière sur le plan zSxf par une construction analogue à celle qui nous a fait trouver la projection Sj3.

393. Les constructions à faire sur la perspecrive axonométrique sont analogues à celles que nous avons expliquées aux articles 336 et suivants.

Nous traçons la droite A, a, parallèle h R,, nous élevons la verticale aKa% et nous la terminons au point a sur le rayon issu du point A.

La courbe ake est l'intersection du cylindre d'ombre qui a pour directrice la courbe de tête AKB, avec le cylindre de la niche.

Le plan vertical qui contient le rayon Kk coupe le plan de naissance et le cylindre de la niche suivant les droites K,£« et kKk\ l'ombre du point K est donc en k. La tangente de la courbe d'ombre en ce point est l'intersection des plans tangents aux deux cylindres. Le plan tangent au cylindre d'ombre contient la tangente K/à la courbe de tête, et le rayon Kk; sa trace sur le plan de naissance est la droite fui qui passe par les traces/ et u de ces deux droites. La trace du plan tangent au cylindre de la niche est la droite k{ i en k{ à l'ellipse A,eB. Le point de rencontrée appartient à la tangente cherchée.

394. Il faut maintenant déterminer l'intersection de la sphère par le cylindre

CHAPITRE II. — OMBRES SUR LES FIGURES A XONOM ÉTRIQUÉS ET CAVALIÈRES. 3l

d'ombre. Nous traçons tout d'abord le cercle qui serait le contour apparent de la sphère si elle était en relief : son rayon est égal au demi grand axe de l'ellipse AB. On l'obtient en traçant la droite O {fig. 208) parallèle à CA {fig. 209) (art. 299).

Nous coupons les deux surfaces par des plans auxiliaires parallèles aux rayons de lumière et perpendiculaires aux plans de tête (art. 558).

La projection S 7 du rayon de lumière perce le plan de la figure au point E où il coupe la droite CA trace du plan xSz [fig. 209) : le point B est la trace de l'axe Sy perpendiculaire à ce plan; la droite BE est donc la trace du plan qui projette le rayon Se? sur le plan œSz.

Nous menons par le point C {fig. 208) deux droites CM et CL, respectivement parallèles à ES et EB [fig. 209) : ce sont les traces du plan auxiliaire passant par le pointC, sur le plan de tête, et sur le plan de front qui contient le centre de la sphère. Si nous faisons tourner ce plan auxiliaire autour de CL pour le rabattre sur le plan de front, le cercle suivant lequel il coupe la sphère se placera sur le cercle dont le rayon est Cv. Dans ce mouvement, le point M se transportera en M, sur une perpendiculaire MM, à CL.

Le rayon de lumière qui passe par le point M coupe en un point / Taxe du mouvement. 11 devient donc après le rabattement M,/, et il rencontre la sphère au point M' du cercle vL. Lorsque le plan auxiliaire est remis dans sa position, le point M' se projette en /x à l'intersection du rayon M/ avec la perpendiculaire abaissée du point M' sur CL.

Si nous traçons Cjx, le triangle CM/jl sera la perspective du triangle C"M"jji" de \&fig. 206.

L'intersection du plan de la courbe d'ombre et du plan de tête est perpendiculaire au plan auxiliaire; sa projection est donc la droite CG, perpendiculaire à la trace CL de ce plan.

595. Sur \4àfig. 206, un point ri de la courbe d'ombre e'G est donné par un triangle C"N"/i" homothétique à c,/M,>,/; le point N" est sur la courbe A'E'B', et le point C" sur le diamètre PG. D'après cela, si nous traçons une droite NN' parallèle a MC {fig. 208), puis les lignes N/i et N'/i respectivement parallèles à M/x et à Cjx, le point n appartiendra à la ligne d'ombre Ge9 qui est évidemment une ellipse. Cette courbe prolongée passerait par le point jul.

La tangente nv est l'intersection du plan de la courbe avec le plan tangent au cylindre d'ombre.

Les rayons CM' et C'G {fig. 206) sont rectangulaires; leurs projections CM et CG {fig. 208) sont donc des demi-diamètres conjugués de l'ellipse AMB. La construction qui fait trouver l'ellipse [ieG est identique avec la transformation que nous avons exposée aux articles 154 et 514. On voit d'après cela queCG et C/jl sont des diamètres conjugués de cette conique; on peut donc obtenir ses axes

par la construction expliquée à l'article 153, mais il est plus simple de remarquer que le grand axe est sur la droite d'intersection du plan de la courbe d'ombre avec le plan de front du centre de la sphère. Les droites SX et Sp {fig. 209), respectivement parallèles à CG et à C/jl, sont les traces d'un plan mené par le point S parallèlement au plan d'ombre, sur les plans ocSz et BSE, parallèles l'un au plan de tète, et l'autre aux plans auxiliaires. Ces lignes percent le plan de la figure aux points X et p : le grand axe de l'ellipse [xeG est donc parallèle à la droite Xp; sa longueur est d'ailleurs égale au diamètre de la sphère.

La droite Ce est dans le plan de naissance et dans celui de la courbe. Les traces des plans menés par le point S parallèlement à ceux-là sont AB et Xp {fig. 209). La ligne Ce est donc parallèle à la droite qui irait du point S à celui où les traces AB et Xp se rencontrent. Nous n'avons pas tracé cette droite par crainte de confusion.

596. Nous croyons que cet exercice suffira pour montrer comment on doit disposer, sur une perspective axonométrique, les constructions qui correspondent aux divers tracés des figures géométrales. Il n'est pas toujours nécessaire d'établir une iigure auxiliaire représentant les projections de l'angle trièdre des axes, et d'y déterminer les directions des principales lignes, mais cette méthode introduit beaucoup de clarté dans l'épure, et il est bon de l'adopter comme règle générale.

IIIe Exercice. — Ombres d'ttnc niche représentée par une perspective cavalière. — Rayons

parallèles. ( Fig. 2o3. )

397. La niche représentée sur la figure cavalière 2o3 est la même que celle qui vient de nous occuper, mais la direction (R, R,) des rayons est différente. Les lignes perpendiculaires aux plans de front sont réduites à la moitié de leur grandeur; la droite F fait connaître leur direction.

Les droites A! a, et Aa, respectivement parallèles à R, et à R, font trouver l'ombre A^a de l'arête A, A sur le plan horizontal A,B,, et sur le cylindre de la niche.

Une génératrice (K/r, K,/r,) du cylindre d'ombre perce le cylindre de la niche en un point k que nous déterminons d'après sa projection k{. Les plans tangents aux deux cylindres en k ont pour traces sur le plan de tête KT et T, T : la droite TA est donc la tangente de la courbe en h.

398. Pour construire l'intersection de la sphère par le cylindre d'ombre, nous emploierons, comme précédemment, des plans auxiliaires parallèles aux rayons de lumière et perpendiculaires aux plans de tête. Si du point ai nous menons les droites a{ A' et aK a' respectivement parallèles à R et à F, nous pourrons tracer la droite Ma' qui sera parallèle aux intersections des plans auxiliaires avec le plan de tête.

HW!