CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE

surface dêveloppable est touchée par toutes les génératrices qui sont dans son plan.

458. Les droites qui touchent la directrice B en des points // et N, situés de part et d'autre de I et a de petites distances [fig* 244), rencontrent la droite XY en deux points / et T, placés l'un dans la concavité de A, l'autre du cùté de sa convexité. On ne peut mener du premier aucune langente à A; du second on en mène deux TM et TM, ('); il passe, par conséquent, deux génératrices de la dêveloppable par le point N, et il n'en passe pas par le point n. La directrice B forme donc une ligne double d'un côté de I, tandis qu'elle est parasite de l'autre.

Sur \àfig. s44f la courbe A rencontre la droite XY en deux points E et F, a chacun desquels correspondent deux points limites. La directrice B est ainsi divisée en quatre arcs U, , J, J, JI, et I, I : le premier et le troisième sont parasites, les autres utiles et doubles.

Dans le cas de la fig. ^43, les tangentes menées du point M, à la directrice B sont des génératrices, mais cette courbe n'a sur la dêveloppable ni arc double, ni arc parasite.

459. La réciproque de la proposition que nous avons établie à l'article précédent est vraie; ainsi, si le point I est l'extrémité d'un arc utile I, I d'une directrice B, les tangentes aux points voisins n et N auront leurs traces t et T placées de telle manière que de l'une on ne pourra pas mener des tangentes à A, et que de l'autre on en mènera deux : ce qui exige que la tangente de la directrice B en I ait sa trace sur la courbe A.

460. Si les courbes A et B sont gauches, les mêmes dispositions se reproduiront dans les mêmes circonstances, c'est-à-dire chaque fois qu'une génératrice El sera tangente à une directrice B. Pour le prouver, on substituera à A sa projection sur son plan osculateur en E, et l'on supposera les points N et n infiniment rapprochés del.

461. En résumé, quand une surface dêveloppable est donnée par deux directrices, chacune de ces lignes est en général divisée en parties parasites et en parties utiles et doubles. Il suit de la qu'on ne peut pas prendre indifféremment pour directrices d'une surface dêveloppable deux courbes quelconques tracées sur elle. Ainsi deux cercles situés dans des plans parallèles étant pris pour direc-

(') La directrice A peut avoir une forme telle, qu'il soit possible de lui mener des tangentes du point /, mais on en trouverait deux de plus du point T. Le point 1 serait alors à la limite d'un arc quadruple, par exemple, et d'un arc double. Pour éviter une complication tout ù fait inutile dans les problèmes que nous avons à examiner, nous négligerons le cas où la directrice a un degré élevé do multiplicité. Ce degré est d'ailleurs le môme sur toute la longueur de la courbe, si Ton a égard aux nappes imaginaires.

Celte restriction conduit à ne considérer, pour directrices, que des coniques, courbes qui n'ont ni rebroussemenls ni inflexions.

58 LIVIIE VI. — SURFACES DÊVELOPPABLES.

tri ces, la développable complète est composée de deux cônes, et ces cercles sont les seules directrices qui déterminent exclusivement le système de ces cônes.

462. Nous allons maintenant démontrer que l'arête de rehaussement passe à tout point limite d'un arc utile, et qu'elle y a un rebroussement.

Considérons d'abord deux courbes A et B (/îg. a/jo) situées dans un même plan, et supposons qu'elles soient parcourues par deux points M et N mobiles suivant des lois quelconques, mais telles que la vitesse de M soit toujours de même sens, et que celle de N devienne nulle en un point I et change ensuite de signe; concevons enfin qu'on joigne par des droites les positions des deux points aux mêmes instants : l'enveloppe de ces lignes passera par le point I, car la droite correspondante 1E rencontre de part et d'autre de I la droite qui la précède et celle qui la suit. Si, de plus, la droite 1E est la tangente de B au point limite I [fig. 239), elle rencontrera près de ce point, mais d'un même côté, les deux droites entre lesquelles elle se trouve comprise ; l'enveloppe aura donc un rebroussement en I.

463. Revenons maintenant à h/îg- *t\t\ : la tangente de la directrice B au point I rencontre la directrice A, et nous avons vu qu'il résulte de là que le point I est l'extrémité d'un arc utile et double de la courbe B. Par conséquent, si nous projetons sur un plan les deux directrices et les génératrices, nous aurons un système géométrique analogue a celui de layîg. 2^9. La projection de l'arête de rebroussement enveloppe des génératrices a donc un rebroussement, et, comme le plan de projection n'a pas une position déterminée par rapport a cette courbe, elle doit avoir elle-même un rebroussement.

La droite El, étant une génératrice de la surface, se trouve tangente à l'arête de rebroussement; quand elle est normale à la directrice A, le segment compris entre le point E et rareté est un maximum ou un minimum.

Nous appellerons sommets d'une développable les points qui sont les extrémités des arcs utiles d'une directrice.

464. Un plan assujetti à toucher une droite ne peut prendre qu'un mouvement de rotation autour de cette ligne; elle est le lieu de ses intersections successives, et il n'a d'autre enveloppe qu'elle. 11 résulte de là que les seules développables dont les génératrices puissent rencontrer une même droite sont des cônes ayant leur sommet sur cette ligne.

465. Une seule directrice suffit pour déterminer une développable, quand on exige que la génératrice la rencontre deux fois. La surface est alors l'enveloppe d'un plan qui roule sur la courbe en la louchant en deux points. Elle se compose, en général, de plusieurs parties distinctes; ainsi l'intersection de deux cônes du second ordre est rencontrée deux fois par les génératrices de chacune de ces surfaces, et, suivant la position initiale du plan bitangent mobile, son enveloppe sera