CHAPITRE ï. — THÉORIE GÉNÉRALE. 5q

l'un ou l'autre de ces cônes. On pourrait même, par cette génération, obtenir deux autres cônes (').

466. Si Ton conçoit que les génératrices d'une surface réglée soient transportées parallèlement à elles-mêmes, de manière à passer toutes par un même point choisi arbitrairement, on aura le cône directeur de la surface. On peut de même pour un polyèdre développable former une pyramide directrice, et alors le parallélisme des arêtes entraîne évidemment celui des faces. Nous concluons de la, en passant à la limite, que les plans tangents d'uue surface développable sont respectivement parallèles à ceux de son cône directeur. Si on place le sommet en un point de la surface, le cône la touchera le long de la génératrice qui y passe.

Le cône directeur d'une surface réglée peut être considéré comme ayant pour directrice la section de la surface par un plan situé à l'infini.

Nous dirons que le cône directeur est simple, double, triple, . . . , suivant que chacune de ses génératrices sera parallèle à une, deux, trois. ... génératrices de la surface.

467. Une sur/ace réglée est déterminée, quand la génératrice est assujettie à rencontrer deux directrices A et B, et à être toujours parallèle à iune des génératrices d'un cône directeur C {Jig. 2jo), car la droite de la surface qui passe par le point m d'une directrice A est l'intersection du cône qui a son sommet au point m et B pour directrice, et du cône directeur transporté parallèlement à lui-même de manière que son sommet soit en m.

Si Von exige que la surface soit développable, une seule directrice A et le cône directeur^ (Jig. a48) suffisent pour la déterminer, car, d'après ce que nous avons vu à l'article précédent, elle doit être tangente le long d'une génératrice au cône C transporté parallèlement à lui-même, de manière que son sommet se trouve en un point quelconque de A; elle est donc l'enveloppe d'un cône C identique à C, toujours semblablement placé, et dont le sommet parcourt la directrice A.

468. Pour avoir les génératrices G' et G\ qui passent par un point donné m de cette courbe, on mène au cône C des plans tangents parallèles à la tangente de la directrice en m; les génératrices de contact G et G, sont parallèles aux droites cherchées. On trouve deux droites quand la tangente mT est du côté de la convexité du cône G'; il n'y en a pas quand la tangente est dans la concavité, et alors le point m est sur un arc parasite. Si le point m était l'extrémité d'un arc utile, la tangente ml serait une génératrice du cône et de la développable, ce qu.e nous avons déjà reconnu par d'autres raisonnements (art. 458).

Dans le cas où le cône a des inflexions, il pourrait arriver que par une tan-

(*) Poncelet a démontré que la développable qui a pour directrice double l'intersection de deux surfaces du second ordre se compose de quatre cônes de cet ordre (Propr. project., art. 61 1-616).

Go MVRE VI. — SURFACES DÉVEÏ.OPPABLES.

gente MT on pût lui mener plus de deux plans tangents : le point m appartiendrait alors à un arc multiple de la directrice.

469. On peut considérer le cône directeur d'une surface développable comme l'enveloppe des positions d'un plan assujetti à passer par un point fixe et à être successivement parallèle aux divers plans tangents de la surface.

En général, (es plans tangents d'une surface transportés tous parallèlement à eux-mêmes, jusqu'à passer par un point fixe, ne sont pas tangents à un même cône; ils n'ont pas d'enveloppe, à moins qu'on ne considère comme telle le point qui leur appartient a tous. Lorsque ces plans sont tangents à un cône, la surface primitive est développable, car un plan qui roulerait sur elle ne pourrait après chaque position en occuper indifféremment plusieurs autres; obligé de rester parallèle au plan qui dans son mouvement toucherait toujours le cône, les positions qu'il doit successivement occuper sont déterminées, et la surface est leur enveloppe.

470. Le cône directeur sert à résoudre, pour les développables, plusieurs problèmes que nous examinerons rapidement.

i° Plan tangent par un point extérieur. Si l'on prend le point donné pour sommet du cône, le plan cherché lui sera tangent comme à la développable; sa trace sur un plan quelconque sera donc tangente aux traces des deux surfaces, ce qui permettra de la déterminer. Les tangentes de ces traces en deux points homologues sont parallèles et, en général, elles se confondent pour un certain nombre de couples de points. Une tangente commune dont les points de contact ne seraient pas les traces de génératrices parallèles ne correspondrait pas à un plan satisfaisant aux conditions. On arrive facilement à comprendre les différentes dispositions, en considérant uu cône de révolution. Le cône directeur sera identique à cette développable, et l'on devra conduire des tangentes communes à deux cercles : on obtiendra en général quatre droites, dont deux ne seront pas les traces de plans tangents communs.

2° Plan tangent parallèle à une droite. On mène au cône directeur des plans tangents parallèles à la droite, et l'on cherche les génératrices de la développable qui sont parallèles aux génératrices de contact. Les plans cherchés passent par ces droites et sont respectivement parallèles aux plans tangents du cône.

3° Branches infinies des sections planes. On détermine les génératrices du cône directeur parallèles au plan sécant, et ensuite leurs homologues sur la développable. Les asymptotes sont les intersections des plans tangents le long de ces droites avec le plan sécant.

Ces diverses constructions sont simples quand la détermination du cône directeur ne présente pas de difficulté. Nous aurons l'occasion d'en présenter dos applications dans la troisième Partie (art. 970 et suiv. ).

471. Nous avons examiné les principales manières de déterminer les surfaces