CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE. 6l

développables, mais il y en a plusieurs autres : ainsi un plan mobile est quelquefois assujetti à être toujours normal à une courbe; d'autres fois il doit toucher une ou plusieurs surfaces qui remplacent autant de lignes directrices.

Développement des surfaces développables.

472. Considérons un polygone rectiligne mnop ... {fig. 234) tracé sur un polyèdre développable : si nous supposons qu'on fasse tourner la face A de manière à Tamener dans le plan de la face B, le côté mn fera toujours le même angle avec la génératrice N, axe du mouvement. Nous concluons de là, en passant à la limite, que les angles formés par les tangentes dune courbe (racée sur une surface développable, avec les génératrices des points de contact, ne sont pas altérés par le développement. L'angle compris entre les tangentes de deux lignes qui se coupent conserve également sa grandeur, parce qu'il est la somme ou la différence d'angles qui ne sont pas modifiés. Nous avons déjà établi cette proposition pour le cône et le cylindre (art. 115 et 122).

473. D'après ce que nous venons de voir, les angles droits que les développantes de l'arête de rebroussement font avec les génératrices restent droits dans le développement; il en résulte que les transformées de ces courbes sont des développantes de la transformée de l'arête de rebroussement.

474. Nous allons maintenant rechercher la relation qui existe entre les rayons de courbure d'une ligne tracée sur une surface développable et ceux de sa transformée par développement.

Les côtés on et op du polygone mr(Jig. a34) comprennent avant le développement un angle que nous appellerons o, et après le développement un angle égal

à nob 4- bop ou |3 H- y. Les trois angles plans o, j3 et y forment un trièdre, et, si nous désignons par N le dièdre dont la droite on est l'aréle, nous aurons, par la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique,

^ cosy — coswcos(3 ^ •

~~~ biii&>siu(3 Posant ensuite

et éliminant w et y, nous obtenons

„ __ — cos(e'-f- (3 )-f- cosecos(3 sinesinp

Si le polyèdre devient une surface développable, e et e' seront les angles de contingence de la courbe dans laquelle se change le polygone considéré, et de sa

6a LIVRE VI. — SURFACES DÉVELOPPABLES.

transformée (art. 95); N sera l'angle du plan oscillateur de la courbe avec le plan tangent. Les deux plans nop9 nob qui comprennent l'angle N seront l'un osculateur de la courbe en 0, l'autre tangent de la surface au même point. Comme d'ailleurs le sinus d'un angle infiniment petit est égal à l'arc qui le mesure, et son cosinus a l'unité, la formule se réduit à

cosN = -• e

Dans le développement» la longueur d'un arc n'est pas modifiée : les rayons de courbure d'une ligne et de sa transformée sont donc inversement proportionnels aux angles de contingence s et e\ En appelant R et R' ces rayons, nous aurons

J* - ï R' ~ cosN '

Par conséquent, le rapport des rayons de courbure en deux points correspondants dune ligne tracée sur une surface, développable et de sa transformée par développement est égal à l'inverse du cosinus de l'angle que forme le plan oscillateur de la ligne avec le plan tangent de la surface ( f ).

475. Si l'angle nop avait un de ses côtés confondu avec une arête, l'autre côté tournerait autour de celui-là, et l'angle n'éprouverait aucune modification. Nous voyons ainsi que, quand une courbe tracée sur une surface développable touche une génératrice, son rayon de courbure au point de contact n'est pas altéré dans le développement, ce qui, d'après la formule précédente, exige que l'angle N soit nul, et par suite que le plan osculateur soit tangent à la surface. Le théorème démontré à l'article 216 pour le cône s'étend donc à toutes les surfaces développables.

L'arête de rebroussement étant en tout point tangente à une génératrice, ses rayons de courbure sont les mêmes que ceux de sa transformée.

476. Dans le développement, une ligne double se divise, et les deux rayons de courbure sont déterminés par les inclinaisons du plan osculateur sur les deux plans tangents. Du reste, les considérations que nous venons de présenter ne sont pas applicables aux sommets; ainsi, bien que la courbe B supposée gauche soit tangente en I à la génératrice El [fig. it\l\ ), son plan osculateur ne touche pas la développable le long de cette droite : on voit en effet que, des deux éléments infiniment petits qui déterminent ce plan, l'un seulement est sur la surface, l'autre se trouvant sur la partie parasite de la directrice.

477. D'après la formule de l'article 474, toutes les fois que l'angle N sera

(!) Ce théorème est dû à M, Catalan [Comptes rendus de l'Académie des Sciences } 1843).