CHAPITRE 1. — THÉORIE GÉNÉRALE

droit, R' sera infini, et la transformée de la courbe considérée aura une inflexion. Si le plan osculateur est perpendiculaire à une génératrice, il coupera à angle droit deux plans tangents consécutifs, et la transformée de la courbe aura avec sa tangente un contact du troisième ordre. Nous avons déjà établi ces propositions pour le cône (art. 169).

478. Une courbe tracée sur une surface développable passe d'une nappe à l'autre avec un rebroussement de premier ordre, à moins qu'elle ne soit tangente à l'arête enveloppe des génératrices. Le rayonRétant nul, R' lésera également, et la transformée aura, elle aussi, un rebroussement de premier ordre. Si cependant le plan osculateur de la courbe est perpendiculaire au plan tangent, au point où elle rencontre l'arête de rebroussement, cosN sera nul comme R, et la formule ne donne aucune indication sur la grandeur de R'.

Pour voir ce qui arrive, supposons que le plan osculateur soit perpendiculaire au plan tangent de la surface, non pas au sommet du rebroussement, mais à une petite dislance de ce point : la courbe ABC (fig. 2^6), transformée par développement de la courbe primitive, aura une inflexion en un point i voisin du rebroussement, et le bras BÀ traversera la tangente BT. Quand le point d'inflexion est Irès-rapproché de B, le point i se trouve sensiblement sur la tangente BT, et le rebroussement, quoique mathématiquement de premier ordre, se présente graphiquement comme de second ordre. Si la courbe tracée sur la surface éprouve des modifications telles, que le point d'inflexion de la transformée se déplace, lorsque ce point sera parvenu en B, le rebroussement sera rigoureusement du second ordre, et il paraîtra l'être jusqu'à ce que l'inflexion i soit assez éloignée pour que la partie du bras BC passée de l'autre côté de la tangente se détache de cette ligne.

On voit donc que, quand le plan osculateur de la courbe au point de rebroussement est perpendiculaire au plan tangent de la surface, le rebroussement de la transformée est géométriquement du second ordre, et qu'il parait avoir les deux bras d'un même côté de la tangente, quand la perpendiculaire a lieu près du point de rebroussement.

479. La réunion d'un point d'inflexion à un point de rebroussement élevant l'ordre du rebroussement d'une unité, si deux points d'inflexion i et i' viennent se confondre en B (fig. 2/47), le rebroussement deviendra du troisième ordre; mais alors te plan osculateur, étant perpendiculaire à deux plans tangents consécutifs, sera perpendiculaire à leur intersection, c'est-a-dire à la génératrice qui passe par le point et à l'arête de rebroussement qui lui est tangente.

Le rebroussement de la transformée est donc du troisième ordre, quand le plan osculateur de la courbe au point de rebroussement est normal à l'arête.

480. Pour faire le développement d'une surface développable, on considère un certain nombre de génératrices assez rapprochées pour que les parties de la sur-

face qu'elles comprennent puissent être regardées comme planes, et on l'assimile ainsi à un polyèdre développable ayant un grand nombre de facettes. La construction se fait ensuite facilement : nous en donnerons plus loin un exemple (art. 492). Dans quelques cas particuliers on peut simplifier les opérations, en ayant égard aux formes spéciales des transformées de cerlaines courbes.

481. Si Ton développe un polyèdre développable sur le plan d'une face, et sa pyramide directrice sur le plan de la face parallèle, les arêtes homologues des deux surfaces seront évidemment parallèles après le développement, comme elles Tétaient auparavant. Nous voyons donc, en passant à la limite, que, si l'on développe une surface développable sur son plan tangent le long d'une ^génératrice, et le cône directeur sur son plan tangent le long de la génératrice parallèle, les génératrices homologues seront encore parallèles après le développement.

482. Les lignes géodésiques d'une surface développable, c'est-à-dire "celles dont la longueur entre deux points donnés, sur une même nappe, est un minimum, ont pour transformées des droites; leurs rayons de courbure deviennent donc infinis dans le développement, et par suite, les angles N étant droits, les plans osculateurs sont normaux à la surface.

483. Pendant qu'on déroule une développable, la partie transformée d'une ligne géodésique est droite, et l'un quelconque de ses points décrit une développante de cette courbe. La trajectoire d'un point est donc une développante de l'une quelconque des lignes géodésiques qui passent par ce point. Inversement ces lignes sont les développées de la trajectoire.

Toute ligne peut être décrite de cette manière par un point déterminé du plan de développement de la surface développable enveloppe de ses plans normaux. On voit donc qu'une courbe a une infinité de développées; elle est l'intersection commune de toutes les surfaces développables dont ces lignes sont les arêtes de rebroussement.

Nous n'avons considéré pour une courbe plane qu'une développée, celle qui est dans son plan, mais il y en a, comme on voit, une infinité; elles sont situées sur un même cylindre.

484. Deux surfaces développables flexibles peuvent être appliquées l'une sur l'autre, de manière que leurs génératrices restent droites, toutes les fois que leurs arêtes de rebroussement ont une même transformée plane; car elles ont alors un développement commun que l'on peut ramener à l'une ou l'autre des deux formes primitives.

Deux cônes quelconques sont applicables l'un sur l'autre avec coïncidence des génératrices; il en est de même de deux cylindres. Nous supposons que ces diverses surfaces peuvent être déroulées indéfiniment; sans cela, deux cylindres ne pourraient être complètement appliqués l'un sur l'autre, que si leurs sections droites avaient la même longueur.