CHAPITRE I. — THÉORIE GÉNÉRALE

Observations sur la distance des génératrices consécutives d'une surface

développable.

485. Deux arêtes consécutives d'un polyèdre développable appartiennent à une même face et par conséquent deux génératrices infiniment voisines d'une surface développable sont dans un même plan. D'un autre côté, deux tangentes d'une courbe gauche ne se rencontrent pas, si rapprochés que soient les points de contact. Pour concilier ces résultats, qui semblent contradictoires, nous allons chercher quel est Tordre de grandeur de la distance de deux tangentes à une courbe gauche, quand Tare qui sépare les points de contact est infiniment petit; en d'autres termes, quelle est la limite du rapport de cette distance à l'arc.

La fig. 204 représente les projections d'une courbe gauche sur trois plans rectangulaires : le premier, que nous supposons horizontal, est parallèle aux droites qui touchent cette ligne en deux points peu éloignés M et N; les deux autres sont l'un parallèle et l'autre perpendiculaire à la tangente au point M.

La droite {i,i\i') est la commune perpendiculaire des deux tangentes; sa longueur ïlx est égale à N"n, et en traçant la droite N"M" on obtient

• iV^" = Wn lang/*M"jN" = M#langNM#tang/*M']V'.

Si Ton suppose que le point (N, N') se rapproche du point (M, M'), le plan horizontal de projection tournera autour de la tangente MM", et le plan osculateur en M sera la limite de ses positions. Le plan (MM", M"N") qui contient la tangente en M elle point (N, N") a la même limite, et par suite l'angle N"M"/i devient infiniment petit quand la distance des points considérés est elle-même infiniment petite. Les deux premiers facteurs du second membre de l'équation deviennent également infiniment petits, et en conséquence la distance des deux génératrices est un infiniment petit du troisième ordre (').

Quand deux quantités infiniment petites se trouvent en présence, on doit négliger celle qui est de l'ordre le plus élevé; par conséquent, on peut dire que deux droites qui louchent une courbe gauche en des points infiniment rapprochés se rencontrent; mais si, dans une question relative à une surface développable, autre qu'un cône, il y avait lieu de considérer des infiniment petits de troisième ordre, la distance de deux génératrices consécutives ne serait pas négligeable.

Des considérations de cette nature se présentent assez souvent dans la théorie des lignes et des surfaces courbes. L'angle de contingence d'une courbe est infiniment petit (art. 95), et par conséquent on le néglige devant des quantités finies;

(') Ce théorème est dû à M. Bouquet (Journal de M. Liouviilc, t. XI, i84(>). H.

on dit ainsi que l'angle d'une courbe avec une droite est égal à l'angle de sa tangente avec cette droite, bien qu'il y ait une différence égale à la moitié de l'angle de contingence. Mais il y a beaucoup de questions, telle que celle de la détermination du rayon de courbure, où cet angle ne doit pas être négligé, parce qu'il n'est pas ajouté à une grandeur finie et qu'il intervient par son rapport avec une quantité de même ordre de grandeur.

Lorsque deux courbes se rencontrent sur une développable, l'angle formé par les arcs dont les concavités sont opposées s'accroît, dans le développement de la surface, de la moitié de la somme des augmentations des angles de contingence; mais cette quantité doit être négligée auprès de la grandeur finie de l'angle des courbes, et par suite les transformées comprennent le même angle que les lignes primitives (art. 472).

Quand on rencontre des difficultés du genre de celle à l'examen de laquelle nous consacrons cet article, on doit toujours rechercher l'ordre de grandeur des différentes quantités que l'on considère: on peut alors remplacer par des propositions rigoureuses des énoncés qui ne paraissent être en contradiction que parce qu'ils sont incomplets. Jusqu'à présent, pour éviter toutes difficultés et toutes objections, nous avons employé la méthode des limites; mais dans la suite de ce Traité, quand, dans une question relative à une surface développable, il n'y aura pas lieu d'avoir égard aux infiniment petits du troisième ordre, nojis dirons que deux génératrices consécutives se rencontrent.

486. Pour donner un exemple des circonstances où l'on peut être conduit à considérer des infiniment petits d'ordre différent, nous allons démontrer que le cône directeur d' une développable en est oscillateur le long de la génératrice commune , quand son sommet se trouve en un point de l'arête de rebroussement, et pour cela nous allons faire voir que les sections faites dans la surface et dans le cône ainsi placé, par un plan perpendiculaire à la génératrice commune, sont osculatrices.

Considérons trois arêtes consécutives amy bn et bo d'un polyèdre développable (Jig. 2o5), et coupons-les par un plan P perpendiculaire à bo : si nous supposons que la pyramide directrice ait son sommet au point a, les arêtes arn et an lui appartiendront, et l'arête parallèle à bo sera une droite ad située dans le plan nbo. A la limite, les angles man et nbo seront infiniment petits, ainsi que le segment ab compris sur l'arête de rebroussement entre les points de contact des deux génératrices consécutives. Il suit de là que les côtés mn et no seront infiniment petits du premier ordre, et le segment oo' infiniment petit du second, car il est égal

à absinnbo; on doit donc le négliger auprès des longueurs mnetno, et par conséquent les sections faites dans les deux surfaces par le plan P ont trois points communs infiniment voisins et sont osculatrices.