SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

Détermination de l'ombre et de la pénombre d'une aire opaque éclairée par une aire lumineuse.

487. Si une aire opaque B [fig. 337) arrête les rayons émis par une aire lumineuse A, le cône qui a pour directrice la courbe B et dont le sommet est en un point m de la ligne A renferme, au delà de B, les points qui ne reçoivent pas de lumière du point m. L'espace compris dans tous les cônes ayant pour directrice la courbe B et pour sommets les différents points de A ne reçoit donc aucune lumière du périmètre de l'aire lumineuse, et à plus forte raison de l'intérieur de cette aire; il est dans l'ombre. L'espace qui n'est contenu que dans quelques cônes se trouve privé d'une partie de la lumière qu'il recevrait sans l'interposition de l'écran B, et est dans la pénombre. Nous voyons donc que l'enveloppe de ces cônes, c'est-à-dire la développable circonscrite aux courbes A et B(art. 454), détermine l'étendue de l'ombre et celle de la pénombre. Elle se divise en deux parties, la développable externe et la développable alterne, enveloppes respectives des plans qui touchent les deux périmètres en laissant les aires, les unes d'un même côté, et les autres de côtés différents. La première surface limite l'ombre, et la seconde la pénombre.

Détermination de V ombre d'une ellipse éclairée par un cercle.

488. Nous allons appliquer cette théorie à un exemple très-simple, la détermination de l'ombre d'une ellipse éclairée par un cercle. Nous supposons les plans de ces aires perpendiculaires à la droite qui passe par leurs centres, et par conséquent parallèles entre eux, et, prenant un plan de projection qui leur soit parallèle, nous traçons les périmètres en véritable grandeur {fig. ?55).

Les tangentes du cercle et de l'ellipse aux points situés sur une même génératrice de la surface d'ombre doivent être dans un même plan et sont par conséquent parallèles. Nous avons d'ailleurs un procédé facile pour déterminer les points d'une ellipse où la tangente est parallèle à une droite donnée (art. 367); nous pouvons donc tracer les projections des génératrices qui passent par des points

choisis sur le cercle. En construisant un nombre suffisant de ces droites, on détermine leur enveloppe, qui est la projection de l'arête de rebroussement.

489. Si nous concevons que l'ellipse soit remplacée par son cercle osculateur en un point m, la surface d'ornbre sera un cône dont le sommet aura la position du point où la génératrice M/w rencontre l'arête de rebroussement (art. 451).

On obtient par la considération de ce cône

en appelant tel g les longueurs d'une génératrice mesurées depuis le cercle jusqu'à l'ellipse et jusqu'à l'arête de rebroussement, /' et #'les projections de ces longueurs sur le plan de l'une des courbes, R le rayon du cercle et rie rayon de courbure de l'ellipse.

Si l'un des rayons de courbure de l'ellipse était égal au rayon du cercle, la longueur g* serait infinie, et la génératrice correspondante serait asymptote de l'arête de rebroussement.

Sur notre figure les données sont telles, que le plus grand rayon de courbure de l'ellipse est plus petit que le rayon du cercle; par suite, l'arête de rebroussement ne s'étend pas à l'infini : la courbe est tout entière d'un même côté des plans des directrices.

Aux points C et C, les longueurs / et r atteignent leurs plus petites valeurs, et par suite g-' a une valeur minimum. Il en résulte que la projection de l'arête de la surface a des rebroussements aux points I et In où elle est touchée par les génératrices projetées BC, B|Clf et que l'arête elle-même possède des rebroussements aux points correspondants, car les génératrices tangentes ne sont pas perpendiculaires au plan de projection (art. 217, 218). Les points I et I, sont par conséquent des sommets (art. 463). Nous verrons, en effet, qu'une ligne double s'arrête aux points I et I, , ou plutôt qu'elle y devient parasite.

On reconnaît par des raisonnements analogues que la longueur g est à son maximum sur les génératrices EF etE^F,, et que la surface a sur ces droites des sommets J et Jl .

490. Pour bien manifester la forme de la surface, nous l'avons coupée par trois plans parallèles aux plans des directrices, et placés au delà de celui de l'ellipse, de manière à intercepter sur la ligne des centres, à partir du centre de cette courbe, des longueurs égales aux trois huitièmes, aux cinq huitièmes et aux sept huitièmes de sa distance au centre du cercle.

Nous construisons facilement les sections, en portant sur chaque projection d'une génératrice, telle que M/w, et à partir du point m, des longueurs égales aux trois huitièmes, aux cinq huitièmes et aux sept huitièmes du segment M/w compris entre les deux courbes. Nous obtenons ainsi les trois lignes een kll^kï