CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE. — PL. XXV

etpqÇiPi : la première ne rencontre pas l'arête de rebroussement; les deux autres la coupent en quatre points. Les tangentes de ces courbes aux points situés sur une même génératrice sont évidemment parallèles.

On peut, à l'aide du cône osculateur que nous avons déjà considéré, obtenir la grandeur du rayon de courbure de l'ellipse aux points qui correspondent aux rebroussements d'une section, ce qui permet de déterminer les génératrices sur lesquelles ils se trouvent; nous ne nous arrêterons pas à cette recbercbe.

491. Nous avons représenté sur la ,/îgr. 254 la seconde section dégagée de toutes les constructions. Elle présente deux points doubles d et d{ ; le lieu de ces points est une ligne double de la surface qui, vu la symétrie de la figure, se projette sur un segment du grand axe de l'ellipse. Cette intersection de la surface avec elle-même se termine aux points I et I,, où les points k et/ d'une part, kt et/, de l'autre, se réunissent. D'après ce que nous avons vu à l'article 459, la ligne double a pour tangentes aux points I et I , les génératrices BC et B, C« .

On reconnaît par la considération du cône osculateur que, si l'un des plans sécants avait passé aux points I et If, le rayon de courbure de la section, aux points correspondants, eût été nul. Comme, d'ailleurs, le rayon de courbure atteint sa valeur minimum aux points situés sur les génératrices BC et B<C<, la courbe n'aurait pas eu de rebroussement. Elle eût été analogue à la développante pB q {fig. ^57), qui forme, comme elle, la transition d'une courbe ayant deux rebroussements et un point double à une courbe qui n'a ni point double ni rebroussement (art. 439).

L'ombre étant renfermée dans l'intérieur de la développable ne peut pas s'étendre au delà de la courbe d'intersection de la surface avec elle-même. Les segments des génératrices comprises entre cette ligne et l'ellipse appartiennent seuls a la partie de la surface qui limite l'ombre. On voit d'après cela que la première courbe ee{ est le périmètre de l'ombre qui serait reçue sur le plan de section ; que dans la seconde l'ombre n'occupe que la partie ddK {fig. 254)» et enfin que la troisième/x/^,/^ [fig. 255) est étrangère au problème qui nous occupe; elle se trouve au delà de la ligne double qui, comme nous venons de le voir, forme la limite de l'ombre. Il résulte de cela quo le périmètre de l'ombre portée par l'ellipse sur un plan peut présenter des angles, mais non des rebroussements.

Une seconde courbe d'intersection de la surface avec elle-même s'étend entre les rebroussements J et Jlt mais elle n'a aucune importance dans la question d'ombre.

492. Nous allons maintenant foire le développement de la surface, en regardant comme planes les facettes comprises entre les génératrices tracées sur la ligure : la construction ne pourra avoir que le degré d'exactitude que cette hypothèse comporte.

Nous devons tout d'abord nous donner la distance des plans de l'ellipse et du

cercle qui est restée indéterminée; nous prenons arbitrairement la longueur ST (/ig. a6o), et, portant sur la perpendiculaire SX la projection du segment d'une droite compris entre les deux courbes, nous avons, dans l'hypoténuse du triangle, sa longueur dans l'espace.

Le quadrilatère plan formé par une facette entre le cercle et l'ellipse peut être décomposé en deux triangles; l'un des côtés de chacun d'eux est donné immédiatement, et Ton obtient les deux autres en construisant sur leurs projections des triangles rectangles dont le second côté est ST [fig. 260). Ces triangles, placés à la suite les uns des autres, font connaître la position des génératrices sur le développement. Portant ensuite sur chacune de ces lignes, telles que Mm Çfig. 259), et à partir du point m, des longueurs égales aux trois huitièmes, aux cinq huitièmes et aux sept huitièmes du segment Mm compris entre les transformées des directrices, on obtient les points qui appartiennent aux transformées des trois sections.

Les transformées du cercle, de l'ellipse et des sections parallèles ont des tangentes parallèles aux points situés sur une même génératrice. Leurs rayons de courbure à ces points sont proportionnels aux rayons de courbure avant le développement, et par suite aux longueurs interceptées sur la génératrice à partir de l'arête de rebroussement (art. 451).

493. Si nous voulons avoir en véritable grandeur la courbe limite de l'ombre, nous prendrons deux plans coordonnés passant par la ligne des centres et respectivement par les axes de l'ellipse {fig. 261 et 262), et, après y avoir placé les projections BB, et E'jE' du cercle, CC, et F, F' de l'ellipse, nous porterons sur ces droites les projections des points de division des courbes, relevées de lay?g\ 255. Nous pourrons ensuite tracer les projections des diverses génératrices considérées et déterminer la trace horizontale de la surface, qui est précisément la courbe que nous cherchons. Elle s'arrête aux sommets I et Ilt dont nous obtenons la position précise sur les génératrices BC et B4C<, en traçant les droites A cet Ac, qui passent par le centre du cercle, et respeclivement parles centres de courbure de l'ellipse pour les points C et C, (*). Ces droites sont les lignes des centres des sections circulaires de deux cônes respectivement osculateurs le long des génératrices BC etB,C,.

Les droites ZZ', Z,Zr1,Z2Zr3 sont les traces des plans des sections que nous avons construites (a).

( ' ) Si C et F sont deux sommets d'une ellipse qui a son centre en 0 [fig. a56), pour avoir les rayons de courbure en ces points, il suffit d'élever les perpendiculaires F/et Ce à la corde CF : les longueurs cherchées sont respectivement O/et Oc

( ' ) Celte surface est représentée, dans la galerie de Géométrie du Conservatoire des Arts et Métiers, par un modèle où les génératrices tracées sur notre épure sont représentées par des fils.