CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

Étude abstraite de la surface examinée dans le paragraphe précèdent.

494. Les constructions et les raisonnements que nous venons de présenter sont presque tous applicables à deux courbes quelconques situées dans des plans parallèles et ayant un plan principal commun BB, (Jîg. 255); maintenant, en nous appuyant plus complètement sur les propriétés des directrices, nous allons déterminer la nature de la courbe à laquelle appartient la ligne d'ombre IQT4 (fig. 261), et les différentes formes qu'elle peut avoir.

Nous prenons pour axes les droites Ax, A y et A'z(/îg. 2G1 et 1162); nous supposons que les directrices sont des coniques ayant leurs axes dans les plans coordonnés : ces axes sont BB, et E', E' pour la première, CC, et F', F' pour la seconde; nous appelons a, /3, 7 et a', /3', y' les coordonnées de deux points des directrices situés sur une même génératrice; enfin nous représentons les longueurs

AO, AB, A'E', OC et O'F' par

af b, c, b' et c'.

Nous avons

W «'---«. |-. + fc = «-

La condition que les tangentes des courbes aux points considérés soient parallèles donne

Enfin la génératrice qui passe par les points considérés a pour équations

Pour avoir la trace horizontale de la surface, il faut d'abord faire z nul dans les équations de la génératrice, ce qui donne les relations

(4) W—/ly=W-yP'

et ensuite éliminer les quatre variables auxiliaires /3, |S', 7 et y' entre les équations (1), (a), (3), (4) et (5). On peut faire disparaître successivement /3\/3 et •/

en prenant respectivement leurs valeurs dans (3), (i) et (5). On obtient ainsi les deux équations

(6) | *'= Uv. + ('~,-v#J(a;-a)%

Enfin l'élimination de y2 donne

La courbe est donc une section conique, et il est facile de voir que dans notre exercice c'est une ellipse. L'un des axes se confond en direction avec Taxe des abscisses; l'autre est parallèle à Taxe des ordonnées. On peut vérifier que la courbe touche les génératrices horizontales aux points I et I,.

494 a. On arrive par des raisonnements très-simples à reconnaître que la courbe P1Q est une ellipse.

Pour mener d'un point quelconque un plan tangent à la développable, on peut considérer ce point comme le sommet de deux cônes respectivement circonscrits aux deux directrices et par suite du second ordre, puis leur mener un plan tangent commun. Deux coniques, traces de ces cônes sur un même plan, ayant quatre tangentes communes, on voit que par un point quelconque passent quatre plans tangents a la développable.

Si le point est pris sur le plan de projection de la fig. 261, les quatre plans tangents auront, par rapport a ce plan, des positions symétriques, et leurs traces se confondront deux a deux. Or ces traces sont les tangentes qu'on peut mener du point considéré à la courbe PIQ; leur nombre étant de deux, cette ligne est une conique (').

495. La développable peut être considérée comme déterminée par l'ellipse horizontale IQI, et par l'une des deux premières directrices; alors, en raisonnant comme a l'article 458, nous trouvons que l'ellipse IQI, a deux arcs parasites I* et I,i, t et deux arcs utiles II, et iï,. Les génératrices qui ser coupent aux différents points de Tare iih sont alternes par rapport aux deux premières directrices; elles forment donc la surface de la pénombre. Rien n'indique en effet dans nos formules si la génératrice que Ton considère est alterne ou externe, et par suite l'équation (7) doit représenter la trace horizontale des deux parties de la développable. Nous n'avons pas tracé les génératrices de la surface de la pénombre, par crainte de confusion.

(! ) Cetlo démonstration est extraite des feuilles lithographiées du Cours professé à l'École Polytechnique par M. Mannheim.