CHAPITRE II.— SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE. t fi

On peut obtenir la position précise des sommets i et i{ en traçant des droites par les centres de courbure des directrices pour les points B, et C, et pour les points B et C,. Si les deux courbes étaient des ellipses ou des hyperboles, ces droites seraient distinctes de celles qui nous ont fait connaître la position précise des sommets I et I, (art. 493); mais, la première directrice étant un cercle, les centres de courbure pour les points B et 84 sont réunis en A, et par suite les sommets sont deux à deux sur les lignes Ac et kc{. Du reste, nous allons voir à l'article suivant que, dans tous les cas, les droites h'etl,^ sont dirigées vers le point À.

496. Nous avons un quadrilatère inscrit II,/,*', et un quadrilatère circonscrit GC4HC, disposés de telle manière que les sommets du premier sont les points de contact des côtés du second; par conséquent, et d'après des théorèmes connus (') :

Les diagonales Ii, et I,*' du premier passent par le point de rencontre 0 des diagonales du second.

Les points de concours des côtés opposés du premier sont sur la droite BB, qui passe par les points de concours des côtés opposés du second : les droites 1/ et 1,1, convergent donc vers le point A.

La droite BB, est la polaire du point 0, et par suite la droite CC, a son pôle en A.

497. La surface possède une ligne double dans le plan vertical de projection (art. 491 ); on la construit de la même manière que celle du plan horizontal, et Ton obtient son équation par de simples permutations dans l'équation (7) :

(8) ^ZTïr^'+y, s* ^°-

Avec les données des/îg. a6i et 262, cette conique est une hyperbole; elle n'a aucune importance dans le problème d'ombre, mais pour la surface, et par rapport aux directrices, elle présente les mêmes particularités que l'ellipse PIQ : ainsi elle a deux arcs utiles Y]\ cl fjt\ leurs extrémités sont deux à deux sur les droites qui vont du centre A' du cercle aux points/' et/'t, centres de courbure de l'ellipse aux sommets F' et Ft .

Les deux directrices sont elles-mêmes des courbes d'intersection des surfaces d'ombre et de pénombre; la développable complète a donc quatre lignes doubles planes et du second degré.

498. La projection horizontale de l'arête de rebroussement de la surface

(') On trouve ces théorèmes dans les principaux Ouvrages relatifs aux sections coniques, et notamment dans le Traité des Propriétés projectiles (art. 183 et 180). Le lecteur qui ne les connaîtrait pas peut vérifier, à l'aide de l'équation (7), les relations que nous indiquons.