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7/| LIVRE Vf. — SURFACES DÉVELOPPABLES.

d'ombre est limitée aux sommets I et I, ; pour la pénombre, la projection se terminerait aux points i et i,. Ces arcs utiles d'une même courbe sont séparés par des parties parasites que Ton peut désirer construire.

Il est facile de tracer la projection horizontale d'une génératrice, dès que Ton connaît les valeurs corresr ondantes de j3 et de j3'. L'élimination de 7 et de 7' entre (i)t (2) et (3) donne

c,ibiH-(c'b'2— b' </*)$*

Dans notre exercice c et b sont égaux, et b'2 est plus grand que c'2 ; il en résulte que, si l'on attribue à j32 une valeur plus grande que b2, |3'2 surpassera b'2, et que les droites déterminées par les couples de valeurs de (3 et de /S' ne seront plus des projections de génératrices.

499. Pour expliquer cette circonstance et montrer comment on peut étendre k ces droites la construction ordinaire, supposons que les directrices, au lieu d'être des ellipses, soient les hyperboles représentées par les équations

3'2 y'2 (26/5) a'^rt, JL.£rj=:i.

La condition du parallélisme des tangentes sera exprimée comme précédemment par l'équation (3), et l'élimination de 7 et de 7 entre (1 bis), (2 bis) et (3) fera trouver l'équation (9) qui convient ainsi à la nouvelle développable, de telle sorte que les projections horizontales des deux arêtes de rebroussement forment une seule courbe dans laquelle les arcs utiles pour l'une des surfaces sont parasites pour l'autre.

500. On voit, d'après ce qui précède, que les deux surfaces d'ombre et de pénombre ne forment qu'une même développable; mais nous devons faire observer que leurs développements n'ont entre eux aucune relation de position, et que les lignes doubles y ont des transformées différentes. Cette circonstance se présente toutes les fois que la développable est l'enveloppe de plans formant des séries distinctes.

Observations sur la développable circonscrite à deux sections coniques situées dans des plans parallèles.

501. Nous avons vu que la développable représentée sur les PL XXVI et XXVI 1 avait quatre lignes doubles du second degré, situées dans les plans (BB^E'jE'), (CC^FjF) et dans les deux plans de projection. Nous appellerons ces courbes