CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

première, deuxième, troisième et quatrième directrices, et nous les désignerons par A, A', A" et A'" : la surface peut être déterminée par deux quelconques d'entre elles.

Nous allons présenter quelques observations sur cette développable, mais auparavant nous devons donner aux résultats que nous avons obtenus une extension importante.

502. Deux coniques situées dans des plans parallèles ont un système de diamètres conjugués parallèles. Pour prouver ce théorème, concevons que Ton transporte Tune des courbes parallèlement à elle-même dans le plan de la seconde, de manière que les centres coïncident, et qu'on la fasse ensuite passer par tous les états de grandeur, en restant semblable a elle-même : il y aura un moment où elle touchera en deux points la courbe restée invariable. Le diamètre passant par ces points et celui qui est parallèle aux tangentes communes sont évidemment conjugués dans les deux coniques, ce qui démontre le lemme énoncé.

On obtiendra toujours un double contact réel quand Tune des lignes sera une ellipse; mais lorsqu'elles seront toutes les deux des hyperboles, si leurs asymptotes sont croisées, c'est-à-dire si, lorsqu'elles seront amenées a être concentriques, les deux asymptotes de l'une ne sont pas dans le même angle des asymptotes de l'autre (fig. 249), elles auront dans cette position deux points communs réels R et S, et deux seulement. Alors, quelque grandeur que Ton suppose à Tune d'elles, dans l'un ou dans l'autre angle de ses asymptotes, les rencontres R et S ne se changeront pas en contacts, car il n'y a pas d'autres rencontres qui puissent se réunir a elles : les courbes considérées n'ont donc pas de diamètres conjugués parallèles.

503. Deux coniques A et A' étant données dans des plans parallèles, si nous prenons pour plans coordonnés celui de l'une d'elles et les plans de leurs diamètres conjugués parallèles, les calculs des articles 494 et suivants seront entièrement applicables à la développable circonscrite, car les équations fondamentales (1), (a), (3), (4) et (5) ne supposent nullement que les axes soient rectangulaires. La surface a donc, outre A et A', deux lignes doubles du second degré A" et A", situées dans les plans des diamètres conjugués parallèles des directrices données, ayant leurs centres sur la ligne des centres de ces courbes, et telles que, pour chacune d'elles, le diamètre conjugué avec cette droite est parallèle aux plans de A et A'. Toutes les relations graphiques que nous avons établies, et notamment celles de polarité, subsistent.

Lorsque les directrices A et A' sont des hyperboles ayant leurs asymptotes croisées, les plans des diamètres conjugués parallèles sont imaginaires, et les courbes A" et Aw n'existent plus.

504. Quand deux coniques situées sur un plan se touchent en deux points, la droite qui passe par le point de concours des tangentes communes et par le milieu

de la corde de contact contient les centres des deux courbes, et les diamètres qui lui sont conjugués dans l'une et dans l'autre sont parallèles a la corde de contact. Le système des diamètres conjugués parallèles est donc tel, que deux de ces droites se confondent en direction.

Cette proposition va nous permettre d'établir que la développable n'a pas de point double en dehors des lignes A, A', A" et A"'.

Nous considérons sur cette surface un point double étranger aux directrices A et A' qui sont situées dans des plans parallèles; nous appelons ce point S, et nous désignons par G et G, les deux génératrices qui s'y croisent : un cône ayant son sommet en S et A" pour directrice sera tangent à la développable le long de G et de G,, et sa trace sur le plan de A sera une conique A'19 homothélique à A' et tangente à A aux points de cette courbe qui appartiennent a G et à G« ; les coniques A et A'j auront donc un double contact, et par suite leurs diamètres conjugués parallèles seront tels, que deux de ces lignes seront confondues en direction. Le plan qui passe par ce diamètre commun, et par le diamètre de A' qui lui est parallèle, contient la ligne des centres de à\ et de A', et par suite le sommet S du cône. Mais deux diamètres conjugués de A', sont respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de A'; le plan dont nous venons de parler est donc l'un des deux plans qui sont déterminés par les diamètres conjugués parallèles de A et de A', et, comme il contient le point S, on voit que ce point appartient à A" ou à A".

Les quatre coniques A, A', A" et A'" sont ainsi les seules lignes doubles de la développable, et par suite les seules lignes qui, prises pour directrices, déterminent la surface sans addition de nappes étrangères. Cette propriété justifie l'expression de directrices par laquelle nous les désignons (art. 461).

505. On déduit sans difficulté de l'équation (7) l'abscisse n du centre L de la troisième directrice A", et les longueurs/? et q des moitiés de ses diamètres conjugués parallèles aux axes AO.r et ABj [fig. 2G1) :

z x ac> , tfc'c'7 „ c*b'* — b'c'*

V / ca—#ca r [cÀ~ c'2Y V c2—c"

On peut, d'après ces équations, étudier les variations de forme de la troisième directrice, dans différentes bypothèses faites sur les deux premières, mais nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, et nous supposerons que la surface est donnée parles directrices A et A". Alors, résolvant les équations (10) par rapport a a, b' et c', nous aurons pour déterminer la seconde directrice A' les relations

/ \ P2 W2 ptb'-hqtn' — ptq* n>

(ii) a = n — r-, b'2 = r — *— - r-^ , c2 = c2'--

L'équation (8) de la quatrième directrice devient, lorsqu'on y porte les va-