CHAPITRE Iï. — SURFACES D*OMBRE ET DE PÉNOMBRE

leurs (11) de a, fc'* et c/2,

506. Ces équations permettent de reconnaître la nature des coniques A' et A" dans les différents cas qui peuvent se présenter. Nous n'examinerons que les principaux.

507. Quand la troisième directrice A" passe par les points B et B, (fig. 261), là valeur de b'2 est nulle, et la deuxième directrice se réduit à une droite; la surface est alors formée de deux cônes du second degré dont les sommets F' et Ft ont pour coordonnées a, o et ± c' {fig. 263), les longueurs a et c' étant données par les équations (11). Ces deux points F' et Ft sont les seuls de la deuxième directrice qui soient utiles.

En faisant b' nul dans l'équation (8), on trouve que la quatrième directrice se réduit comme la seconde à la ligne des sommets.

508. Si la troisième directrice, restant invariable de forme, se transporte parallèlement à elle-même, de manière que son centre parcoure Taxe des abscisses, dans deux positions la surface présentera des particularités remarquables.

Quand A et A" sont concentriques, n est nul, et Ton voit par les équations (1 1) que a, b1 et c ont des valeurs infinies : la seconde directrice A' est donc transportée à l'infini. L'équation (12) de A" devient alors

i'-WH'-QÎ

On voit que cette conique a le même centre que A et A", et que les traces des plans de deux directrices sur le plan de la troisième forment, pour celle-ci, un système de diamètres conjugués.

En faisant différentes hypothèses sur les signes des carrés b2, c2, p2 et q2, on reconnaît que les trois coniques concentriques sont nécessairement deux ellipses et une hyperbole ou trois hyperboles.

Quand les directrices données sont une ellipse et une hyperbole, la troisième conique peut être imaginaire, et alors, comme son plan est réel, la surface ellemême est imaginaire (art. 506).

509, Lorsque la troisième directrice A" touche le plan de la première, n2 est égal à/>a, et l'on reconnaît par les équations (1 1) que A' se confond avec A. La surface de la pénombre est alors aplatie, et forme deux fois le plan de la courbe A, qui n'est plus une ligne double de la développable proprement dite, mais une simple section plane n'ayant de remarquable que d'être du second degré. On voit d'ailleurs par l'équation (12) que la quatrième directrice se trouve, comme

78 * LtVRE Tl. — SUBFACES DÉVELOPPA BLLS.

la seconde, tangente au plan de la première. Ces résultats pouvaient être prévus d'après les considérations présentées a l'article 456.

510. Si Ton donne les troisième et quatrième directrices, c'est-à-dire deux courbes quelconques du second degré, ayant leurs centres sur la droite d'intersection de leurs plans, on trouvera deux autres directrices A et A', situées dans des plans parallèles aux diamètres des courbes données, conjuguées avec la droite des centres, et dont la position précise sera fixée par les relations de polarité que nous avons établies; ainsi les points A et 0 {fig. 2^1) seront les centres de A et de A', si la polaire de À par rapport à A" passe par 0, et si la polaire de 0 par rapport à A"7 passe par A. Alors on aura

ou bien en posant

LK = LO + OK = gi-fgJ

1 n nx — n

LP=p, KG=:p\ LK = n,, LA = n. Résolvant l'équation par rapport à l'abscisse inconnue n (*), on trouve,

n = Pi-p't + n>±Sf>(p>-p" + niy-/ip>n]

Les deux valeurs de n sont les abscisses des points A et 0 ; la position des plans de A et A' est donc déterminée.

Le seul cas auquel nous nous arrêterons est celui où les valeurs de n sont imaginaires, parce que nous avons examiné dans la discussion précédente la disposition de la surface, quand les plans des directrices A et A' sont réels.

La quantité soumise au radical est essentiellement positive quand p* est négatif, et aussi quand p'2 est négatif, car on reconnaît facilement que l'on peut y faire permuter p2 avec p'2. Les plans des deux premières directrices A et A' ne peuvent donc devenir imaginaires que quand les deux dernières A" et A" rencontrent le diamètre suivant lequel se coupent leurs plans.

En mettant l'équation précédente sous la forme

n = p*~ p'* + <±>l[n* -ip^py][»\ -~(p - p'n t

on reconnaît que les valeurs de n sont imaginaires lorsque l'on a

ni<P+P'> ni> ± {p -/>'),

(*) n représente la même longueur que dans les articles précédents, mais avec un signe contraire, parce que l'origine des abscisses a été transportée (lu point A, qui est inconnu, au centre h de 4*,