CHÀP1THE II. — SUBFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

ce qui exige que les points de rencontre P et Q, H et G soient alternes. Dans ce cas, la développable n'a pas d'autre ligne double que les directrices A et A" ( * ).

511. Relations entre les segments interceptés sur les génératrices. Nous allons maintenant étudier les relations qui existent entre les longueurs des segments interceptés sur une génératrice par les quatre directrices.

La génératrice qui passe par le point (M, M') (fig. a6i et 26a), dont les coordonnées sont /3 et 7, rencontre la troisième directrice en un point u dont l'abscisse À/ est la valeur de x donnée par la première des deux équations (6) (art. 494). Par conséquent, si nous posons

nous aurons

A7=R2(A*-0)2, d'où

Al R-i

kg est l'abscisse du point où la même génératrice rencontre la directrice A'"; nous aurons donc, par de simples permutations de lettres,

-— aW

Portant dans cette dernière équation la valeur de (32 prise dans l'équation (i), et posant

(*) Si Ton a deux coniques A et A' [fig. 2G4), situées dans deux plans P et Q qui se coupent suivant une droite XY, on peut concevoir que l'on fasse une déformation homologique ou perspective relief, dans laquelle cette ligne s'éloigne à l'inûni. Les plans Pi et Qi, homologues de P et de Q, seront parallèles, et la développable circonscrite aux courbes At et A', transformées de A et de A', aura, outre At et A't) deux lignes doubles planes et du second degré qui pourront être imaginaires. La développable circonscrite à A et A' jouit donc de la même propriété.

Les pôles A et 0 de XY sont homologues des centres de At et A', ; les diamètres conjugués parallèles de ces dernières coniques ont pour homologues sur P et Q les droites qui passent par les points À et 0, et qui se rencontrent en des points g et h de XY, tels que l'un quelconque soit le pôle des droites qui vont des points A et 0 à l'autre.

Les points g et h sont réciproques dans le système des deux coniques A et A'. Les droites kg et Og d'une part, A/< et Oh de l'autre, déterminent les plans des directrices A" et A".

Le tétraèdre formé par les plans des quatre lignes doubles a ses sommets aux points g, h, A et 0 ; deux quelconques d'entre eux sont réciproques pour les coniques dont les plans se coupent suivant la droite sur laquelle ils se trouvent.

on trouve

R'=XR.

Les expressions R et R' sont affectées des deux signes; dans la disposition adoptée sur nos figures, elles sont positives pour les génératrices qui appartiennent à la surface de l'ombre et négatives pour celles de la surface de la pénombre, car les abscisses Al et A g- des traces de Tune des premières droites sont plus grandes que a, et pour une des dernières ces mêmes longueurs sont plus petites que a. La formule (i3) fait connaître leur rapport X sans ambiguïté de signe.

Portant la valeur de R' dans l'expression de Ag, on obtient

A'=nr-r

On trouve ensuite