CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

et, remplaçant A, B et C par leurs valeurs (2),

Cette équation exprime que la surface (3) est tangente en un point au plan qui touche la développable le long de la génératrice considérée. Une seule des variables auxiliaires, par exemple {3, suffit pour déterminer cette droite; les valeurs correspondantes de 7 et de j3' sont données parles équations (1) et (9) des articles 494 et 498.

Éliminant 7 et le carré de ]3\ nous trouvons

(4) Mj3»4-P = NjP, en posant

^(^-^ + au)=JX9

ï— -TH-I-+-2-4--T — I=P.

Élevons l'équation (4) au carré, portons-y la valeur de /3'3 prise à l'article 498, et ordonnons,

M>|3* + [aMP - ■?- («»*« - ftV»)] F + [> - N» ££] = o.

Pour que la surface du second degré soit touchée par tous les plans tangents de ia développable, il faut que cette équation soit satisfaite quel que soit |3, et par suite que les coefficients des trois termes soient nuls, ce qui exige que M, N et P soient égaux à zéro. Nous avons ainsi trois équations; en les résolvant par rapport à X*f fjia et va, on trouve

(5) X^tf-OK, a2="— 4M- -ft", y* = "-^V-t-%". v ' ^ a a a a

À toute grandeur de u correspondent des valeurs pour X3, j*2 et v9, et par conséquent tout point de l'axe des abscisses est le centre d'une surface du second degré inscrite dans la développable, et ayant d'ailleurs des diamètres conjugués parallèles à nos axes coordonnés.