Quand u est nul, on trouve

Xf=o, ^ = b\ \>* = cK

La surface du second degré se réduit alors à la directrice A. La valeur a de a fait de même trouver la seconde directrice A'. Enfin, si Ton donne à u la valeur (10) de l'abscisse n du centre de A" (art. 505), on obtient pour Xa et /xa les valeurs de p% et de q2, et va devient nul. Ainsi donc chacune des coniques lignes doubles de la développable représente une surface du second ordre inscrite, qui se distingue des autres en ce qu'un de ses trois diamètres conjugués est nul.

Si le centre de la surface inscrite parcourt Taxe des abscisses, à chacune de ses coïncidences avec le centre de l'une des lignes doubles, un des carrés Xa, /xa et va changera de signe, et la surface passera d'un genre à un autre. Quand le centre sera à l'infini, jxa et va changeront de signe simultanément.

Une directrice regardée comme une surface aplatie inscrite dans la développable est une aire plane limitée à la courbe et située du côté de sa concavité, ou du côté de sa convexité, suivant qu'on la rattache à l'une ou à l'autre des deux séries dont elle forme la transition. Ainsi la directrice A est l'aire contenue dans le cercle, ou toute la surface de son plan sauf le cercle, suivant qu'on la considère comme le dernier des ellipsoïdes qui ont leur centre à gauche du point A, ou comme le premier des hvperboloïdes qui ont leur centre entre les points A etOC).

527. Pour toute valeur de l'abscisse m, la surface du second degré inscrite dans la développable représentée sur les Jig. 261 et 262 est réelle. Nous allons rechercher si cela tient à une disposition spéciale des directrices A et A', ou s'il en est toujours ainsi. Les équations (5) permettent de résoudre facilement cette question.

Pour qu'une valeur de u détermine une surface inscrite réelle, il suffit que l'un des trois carrés X2, fr\ v2 soit positif. L'abscisse a de A' peut être regardée comme positive, et par suite Xa sera positif lorsque u sera négatif, et lorsqu'il sera positif et plus grand que a. Ainsi donc tout point de l'axe des abscisses autre que ceux du segment AO [fig. 261) est le centre d'une surface réelle du second degré inscrite dans la développable, quelles que soient les coniques directrices A et A'.

Il nous reste à examiner ce qui arrive lorsque l'on suppose à l'abscisse u des valeurs comprises entre o et a.

Si A est une ellipse, le premier terme de chacune des valeurs de jx2 et de va sera positif, et, comme 6'a et c'a ne peuvent être négatifs simultanément (car nous éloignons le cas où A' serait imaginaire), nous voyons que l'un au moins des carrés /xa et va sera positif. On arriverait au même résultat, et par les mêmes raisonnements, si A' était une ellipse.

(') M. Dupin a le premier reconnu que les coniques qui forment les transitions des différents genres dans les séries do surfaces du second degré doivent être considérées comme des surfaces aplaties ( Développements de Géométrie , p. 1*70).