CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

Quand A et A" sont des hyperboles placées de manière que leurs diamètres transverses se correspondent [fig. 25a), deux carrés tels que b2 et b'2o\ic2 etc'a sont positifs, et la valeur correspondante pour /x3 ou v2 est également positive.

Enfin si A et A' sont des hyperboles placées de manière que leurs diamètres transverses ne se correspondent pas, deux carrés tels que bri et c2 seront négatifs ; après avoir mis leur signe en évidence, on trouve que les conditions pour que p2 et v9 soient positifs sont

ab7 ac%

M <C 71 Ti\ ' tl "> — jl 5

ou (art. 505)

u < AK, u> AL,

en désignant, comme sur \zjig. 261, par A, K et L les centres de A, de A" et de A". Dans nos hypothèses, les points K et L sont sur le segment AO.

Si AK est plus petit que AL, aucun des points du segment KL ne sera le centre d'une surface réelle du second ordre inscrite dans ladéveloppable; mais si AK est plus grand que AL, un au moins des carrés jut2 et v2 sera positif, quel que soit u. On a dans ce cas

ab7 ac*

d'où

Cette inégalité signifie que les angles des asymptotes des deux directrices A et A' n'empiètent pas l'un sur l'autre [fig. 2G6). Nous avons vu que la développable est réelle quand celte condition est satisfaite, et imaginaire lorsqu'elle ne l'est pas (art. 521, 4°).

En résumé, quand deux coniques sont situées dans des plans parallèles, tout point de la droite qui passe par leurs centres est le centre d'une surface réelle du second degré inscrite dans la développable qui leur est circonscrite, lorsque cette développable est elle-même réelle ( * ) .

Quand la développable circonscrite aux coniques A et A' est imaginaire, les équations (3) et (5) représentent encore une série de surfaces du second ordre; mais ces surfaces n'ont pas d'enveloppe (art. i34). La discussion précédente comprend implicitement, pour la position des centres des surfaces réelles, les résultats relatifs à ce cas.

(•) Les génératrices do la développable circonscrite sont divisées homographiquement par les lignes de contact des surfaces du second ordre inscrites. Ce théorème, plus général que celui de l'article 513, peut lui-môme recevoir une extension importante.

Voir notre Ou vrago sur les Surfaces réglées tétraédrales symétriques , premier Mémoire, art. 39, 70, etc. II. is

f)0 LIVRE VI. — SURFACES DÉVELOP FABLES.

Les formules que nous avons obtenues supposent que les directrices A et A' ne sont pas des hyperboles ayant leurs asymptotes croisées, car alors les plans coordonnés seraient imaginaires. Plusieurs des théorèmes que nous obtiendrons sont indépendants de l'existence de ces plans et par conséquent généraux, mais pour donner plus de précision a notre étude, nous la restreignons au cas où les quatre lignes doubles sont réelles. Nous indiquerons plus loin comment on peut obtenir des formules applicables au cas où les plans de deux lignes doubles sont imaginaires (art. 536).

528. La première des équations (5) montre que le centre de chacune des directrices A et A' est le pôle du plan de l'autre par rapport à la surface inscrite. Les pôles de A" et de A" par rapport à la même surface sont à l'infini, dans des directions déterminées et indépendantes de l'abscisse u. Ainsi les plans des lignes doubles ont les mêmes pôles par rapport a toutes les surfaces du second ordre inscrites. 11 est d'ailleurs facile de voir que le pôle de l'un quelconque des plans est l'intersection des trois autres plans.

Nous allons maintenant rechercher quelle relation existe entre les pôles d'un plan, autre que ceux des lignes doubles, par rapport aux surfaces inscrites.

La surface étant donnée par l'équation (3), l'équation du plan polaire d'un point [pc\y, z') sera

-ïi--(*-«)+-f3j-tv»==i.

D'après cela, on trouve facilement, pour déterminer les coordonnées x\ y et z1 du pôle d'un plan quelconque

Ax -\- Bv + C:= i, les formules

A/- , Bu» , C

X — Uz=z -— , y =

i — Au - i — A u i — A //

et, remplaçant X2, jx2 et v2 par leurs valeurs (5),

X = il -— >

i — Au

J I — A M |fl ' J

*'=- vr-(c'2-c2)+c3i-

i — Au \ji v ' J

En éliminant u entre la première de ces équations et chacune des deux autres, on obtient les équations de la ligne des pôles du plan par rapport aux surfaces