CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE. gi

du second ordre inscrites dans la développable

- (-r^— + b> W +y = Bb\ a \\a— i / J '

" Nous voyons que les pôles d'un plan quelconque par rapport à toutes les surfaces du second ordre inscrites dans la développable sont en ligne droite (2). La trace de cette droite sur le plan d'une directrice et par rapport à cette courbe est le pôle de la trace du plan.

529. Si nous portons les valeurs (5) dans l'équation (3), nous aurons l'équation générale des surfaces du second degré inscrites dans la développable

v ' u2 — au h(6'j — b') + ab* u(c'* — c>) + ac7

Nous allons chercher les points où une surface inscrite rencontre les directrices A et A'. Si nous remplaçons successivement x9 y, z par o, |3, 7 et par a, |3', y', l'équation (6) nous donnera

u [b'2 — b2) -*- ab2 + u[c'2 — c2) -f- ac2 "*" ZT- « ~~ °'

ft" y'2 j __

m [b'2 — 62) -f- a*2 "*~ m(c'2 — c2f+~âc' w °#

L'élimination de y2 et de y'2 entre ces équations et les équations (1) et (2) (art. 494), qui représentent les courbes A et A', donne

/fi'2-- -^'-- (V2--'-^62V

Ces équations déterminent les ordonnées des points où la surface considérée coupe les directrices A et A' de la développable; en éliminant u entre elles, nous aurons la relation qui existe entre les ordonnées des points des deux courbes qui appartiennent à une même surface inscrite. Cette élimination, qui est très-facile, conduit à l'équation (9) de l'article 498; lorsque nous l'avons établie, nous considérions simplement les ordonnées des points de A et de A' qui sont sur une même

( ' ) Chacune do ces deux équations représente, sur l'un des plans coordonnés qui contiennent la ligne des centres, le lieu des pôles de la Irace du plan considéré par rapport aux traces des surfaces inscrites.

(?) M. Poncelet [Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, p. 3g [Journal de Crclje,t.l\)].

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génératrice, mais les variables |3 et j3' n'y entrant qu'au carré, elle exprime la relation qui existe entre les ordonnées des points de ces courbes qui appartiennent à un groupe, car tous les points d'un groupe sur A ou sur A' ont les mêmes ordonnées en grandeur absolue (art. 519). Les huit points où les directrices A et A' coupent une surface inscrite dépendent donc d'un groupe, et les huit droites qui forment ce groupe ayant chacune deux points sur une surface du second ordre, et lui étant d'ailleurs tangentes, en sont des génératrices. Ainsi donc chaque surface du second ordre inscrite dans la développable la coupe suivant huit droites {réelles ou imaginaires) qui composent un groupe; réciproquement les huit droites d'un même groupe déterminent un hyperboloïde inscrit dans la développable.

Si l'on veut connaître la position du centre de l'hyperboloïde d'un groupe déterminé, il faut résoudre l'une ou l'autre des équations (7); elles donneront la même valeur pour w, car les carrés /52 et |3'a doivent avoir entre eux la relation établie par l'équation (9) de l'article 498.

Dans notre exercice, les hyperboloïdes des groupes réels ont tous leur centre sur le segment LK de l'arc Ax [fig. 261 ).

530. Nous allons maintenant chercher l'équation de la développable, en la considérant comme l'enveloppe des surfaces représentées par l'équation (6). Si l'on ordonne cette équation par rapport au paramètre variable m, on obtient

(8) Am3+Bm24-Cm-hD--=o,

en posant

///? ki\ ( r'* — r'1^

b"c' + b*crl—2b*c7, v

C= x' - ac2y — ab2z" — b2c2{20c — tf\

Si l'on attribue à x, y et z les valeurs des coordonnées d'un point déterminé de l'espace, suivant sa position, l'équation (8) aura une ou trois racines réelles, et, comme une enveloppée correspond à chaque valeur réelle de m (art. 527), on voit que l'espace se trouve partagé en deux régions : trois enveloppées passent par chaque point d'une région, et une seule par chaque point de l'autre. Les deux régions sont séparées par une surface en tout point de laquelle passent trois enveloppées dont deux sont confondues en une seule. Cette surface est par conséquent le lieu des intersections successives des enveloppées, c'est-à-dire l'enveloppe. Les