CHAPITRE II. — SURFACES D'OMRRE ET DE PÉNOMBRE

points d'une enveloppée particulière qui appartiennent a la développable sont donc tels, que leurs coordonnées satisfont à la fois a l'équation (8) et a sa dérivée

[9) 3 Au2 4- 21Jm -f- C = o,

lorsque l'on donne au la valeur qui convient à l'enveloppée. Les équations (8) et (9) représentent donc une caractéristique, et si l'on élimine entre elles le paramètre variable u9 on aura la surface lieu de ces courbes, ou l'enveloppe.

Éliminant d'abord m3 entre l'équation (8) et l'équation (9) multipliée par w, on obtient

Bw2 -h 2C11 h- 3D = o.

L'élimination de u7 entre cette équation et l'équation (y) donne

" ~~~6AC~2Br

Portant enfin cette valeur de u dans l'équation (9), on trouve pour représenter la développable l'équation du huitième degré

(1 1) 27A2D2 - 18ABCD - B2Ca 4- 4B3D h- 4C3 A = o.

Un raisonnement très-simple pouvait faire prévoir que la surface est du huitième ordre : si on la coupe par un plan contenant une génératrice, la section sera composée de celte droite et d'une courbe qui la rencontrera aux quatre points (réels ou imaginaires) où elle coupe les lignes doubles, et au point où elle touche l'arête. Ce dernier doit compter pour trois, parce que la courbe y a un rehaussement et que la génératrice est la tangente du rehaussement. La section est donc formée d'une droile et d'une courbe qui a sept points (réels ou imaginaires ) communs avec elle, et qui, par conséquent, est du septième degré. En général, une développable algébrique de Tordre n a sur chacune desesgénératrices(/i —4) points doubles ou plutôt des points multiples représentant (/* — 4) points doubles.

Les deux équations (8) et (9) qui représentent une caractéristique sont du second degré en x, y et z, et ne contiennent ces deux dernières coordonnées qu'à la seconde puissance. Les projections des caractéristiques sur les plans coordonnés qui se coupent suivant Taxe des abscisses sont donc des courbes du secon d ordre (').

551. Nous avons vu que chaque point de la développable appartient à trois enveloppées dont deux sont réunies en une seule; la troisième est l'hypcrboloïde

(') Voir le Mémoire déjà cité sur la théorie des polaires réciproques, p. 3j.

du groupe dont dépend la génératrice qui passe au point considéré. Les hyperboloïdes des groupes sont donc les seules enveloppées qui traversent la développable : les autres n'ont en commun avec elle que leur caractéristique. Ces hyperboloïdes sont aussi les seules enveloppées qui touchent la développable dans la partie voisine de l'arête de rebroussement, car les huit points de rencontre des génératrices de deux groupes consécutifs sont sur l'intersection des hyperboloïdes de ces groupes : en d'autres termes, les huit points où les génératrices d'un groupe rencontrent l'arête de rebroussement appartiennent à la caractéristique de rhyperboloïde de ce groupe. Les trois enveloppées qui passent par un de ces points sont confondues en une seule; et par suite leurs coordonnées satisfont à l'équation (8), à sa première dérivée (9) et à sa seconde dérivée

(12) 3Am + B = o

lorsque l'on donne à aune certaine valeur; et si Ton élimine entre elles trois le paramètre variable u, on aura les équations de l'arête qui est l'enveloppe des caractéristiques, comme elle est l'enveloppe des génératrices rectilignes, ainsi que nous le savons déjà.

Le système des équations (9) et (10) équivaut à celui des équations (8) et (9); il suffit donc d'éliminer u entre (9), (10) et (12). On trouve pour représenter l'arête de rebroussement les deux équations du quatrième degré

(i3) B2 - 3AC = o, C2 - 3BD = a.

Les hyperboloïdes des groupes ont pour limites les directrices qui portent les sommets ('). Les caractéristiques des autres surfaces du second ordre inscrites dans, la développable se succèdent sans se rencontrer.

Sur la fig. 261, l'ellipse, trace horizontale de rhyperboloïde d'un groupe, serait tangente aux projections des génératrices de ce groupe, et aussi aux génératrices de la développable situées dans le plan horizontal, car elles touchent, comme les autres, toutes les surfaces inscrites.

532. L'équation (11) représente, outre la surface, les parties parasites des directrices, car, sous le rapport analytique, elles sont inséparables des parties utiles. C'est ainsi qu'à l'article 494 nous avons trouvé pour trace horizontale de

(') Puisqu'il ne passe par un point de l'espace que trois enveloppées, les sommets ne peuvent appartenir à quatre do ces surfaces réunies en une seule, et par suite une troisième diflerentiation ne les ferait pas connaître. Quand on indique co procédé pour déterminer les points do rebroussement de l'aiêle d'une enveloppe, on suppose que chaque caractéristique ne louche cette arôte qu'en un point, tandis que sur la surface que nous examinons chaque caractéristique est tangente à l'arête en huit points qui donnent naissance aux sommets en se réunissant deux à deux sur des directrices que l'on doit considérer comme les caractéristiques d'hyperboloïdes aplatis.