CHAPITRE II. — SURFACES D'OMBRE ET DE PÉNOMBRE. q

la développable l'ellipse PIQ tout entière (Jîg. 261). D'après cela, si un plan sécant rencontre des arcs parasites, la section aura des points isolés. La courbe et ces points forment, en général, un système géométrique indécomposable; mais la séparation peut être faite quand le plan sécant est celui d'une directrice.

La trace de la surface sur le plan d'une ligne double se présente de deux manières différentes : tantôt on trouve, outre une conique PIQ [fig. 261), quatre tangentes qui se croisent deux à deux aux points C, C,, B, B,, H et G, traces des autres directrices; tantôt on obtient une conique (BB0 E'E'j ) et quatre tangentes imaginaires qui passent deux à deux par les traces réelles n et 7r, d'une autre directrice. La section par le plan vertical BBI comprend ainsi, outre le cercle A, les points n et nî (fig. 2G2), comme il est facile de le vérifier par les formules précédentes.

553. Nous avons reconnu (art. 509) que, quand la troisième directrice A" est tangente au plan de la première A, celle-ci se confond avec A', et que la surface se décompose en deux fois leur plan et en une développable plus simple : a est alors nul, et l'on reconnaît, d'après la première des équations (5), que X2 est égal à u2 ; d'où il résulte que les surfaces inscrites sont toutes tangentes entre elles et au plan des deux directrices réunies, et que l'origine est le point de contact.

Si l'on veut avoir dans ce cas l'équation de la développable, il faut, dans les expressions de A, B et C (art. 530), remplacer a, b2, c'2 par leurs valeurs (11) (art. 505), et supposer ensuite n égal à/?. On obtient alors

PJ p p1

C = Cc2x, C = £ ~ *b-x - ai2,

En portant dans l'équation (1 1 ) les valeurs de D et de C, on obtient pour la développable, après^voir supprimé un facteur a:2, l'équation du sixième degré

(i4) 27A2b*c2x2 - i8ABC'&2c2* - B2C'2c2 -t- 4B362-f- 4C'3 A c'a? = o.

Les équations (i3) de l'arête de rebroussement deviennent

B2 - 3AC'c2;r = o, CV - 3Bft2 = o;

la deuxième est du second degré.

Quand l'abscisse est nulle, l'équation (i4) se divise en deux

96 LIVRE VF. — SURFACES DÉVELOPPABLES.

La première donne la directrice A, et la seconde ou deux fois les asymptotes de A qui sont des génératrices de la surface, ou deux fois le point de contact de A" si A est une ellipse (*).

534. Considérons maintenant une deuxième surface du second ordre inscrite dans la développable, et appelons X', /x', v' les valeurs de X, jx, v qui la concernent et ut la distance de son centre au centre de la première surface inscrite : nous aurons

{S bis) lli -b —{b -b ),

Si les deux surfaces inscrites sont données, les six équations (5) et (5 bis) feront connaître les paramètres a, £, c, V et & de la développable et l'abscisse u qui détermine la position de l'origine des coordonnées, c'est-a-dire du centre de la première directrice A.

Les deux premières des équations (5) et (5 bis) donnent u et a. On trouve, en éliminant a et résolvant,

Les deux valeurs de u font connaître les centres des directrices A et A'; leur différence est l'abscisse a. En portant l'une d'elles dans les équations (5) et (5 bis), on déterminera les demi- diamètres b9 c, b' et c' des directrices A et A'. Si Ton employait l'autre valeur, on trouverait pour b et c les longueurs déjà obtenues pour b' et c\ et réciproquement.

La seule relation qu'aient entre elles deux surfaces du second ordre inscrites dans la développable que nous considérons (celle dont deux lignes doubles sont dans des plans parallèles) est que les plans diamétraux conjugués avec la ligne des centres soient parallèles; donc, toutes les fois que cette condition sera satisfaite pour deux surfaces du second ordre, les formules que nous avons trouvées détermineront complètement la développable circonscrite (3).

( ' ) La développable n'est que du quatrième degré quand les directrices données sont des coniques tangentes à une même droite (art. 456). Il est facile do voir par la déformation homologique que celte disposition correspond au cas où les deux directrices A et A' situées dans des plans parallèles sont des paraboles.

(2) Cette équation est identique avec celle de l'article 510, eu égard aux notations et au signe de /* [voir la première note de cet article).

(') Si nous faisons une perspective relief du système que nous venons d'étudier, nous aurons deux surfaces du second ordre placées d'une manière quelconque dans l'espace et une développable circon-