CHAPITRE II. — SURFACES d'OMRRE ET DE PÉNOMBRE

555. En discutant les équations (5) (art. 525), on reconnaît qu'il y a deux séries d'ellipsoïdes inscrits dans la développable représentée sur les fig. 261 et a6a. Deux ellipsoïdes d'une même série se rencontrent avec pénétration, et si l'un d'eux est lumineux et l'autre opaque, il y a deux ombres sans pénombre. Suivant celle des deux surfaces qui est lumineuse, la limite des ombres est formée par l'ellipse A' ou par les arcs utiles de l'ellipse A". Quand les ellipsoïdes n'appartiennent pas à la même série, ils sont entièrement extérieurs l'un à l'autre et il se forme une pénombre.

Les deux surfaces directrices considérées à l'article précédent étant supposées être des ellipsoïdes, les deux valeurs de u données par l'équation (6) seront réelles quand il y aura pénétration entre les surfaces et quand elles ne se rencontreront

scrite ayant quatre lignes doubles planes du second ordre, et telles, que le point d'intersection des plans de trois d'entre elles soit, par rapport aux deux surfaces inscrites, le pôle du plan de la quatrième. Une infinité de surfaces du deuxième degré seront inscrites dans la même développable; comme d'ailleurs les pôles d'un plan quelconque, par rapport aux surfaces inscrites du système primitif, sont en ligne droite, quel que soit le plan qui s'éloigne à l'infini dans la déformation homologique, les centres des surfaces inscrites transformées seront également en ligne droite.

Du reste, pour qu'il fût rigoureusement démontré par ces raisonnements que la développable circonscrite à deux surfaces du second degré a toujours quatre Vignes doubles planes et du second ordre, il faudrait établir que les transformées homologiques de deux surfaces du premier système n'ont entre elles aucune relation nécessaire; mais cela nous écarterait de notro route, et d'ailleurs le théorème dont il s'agit est assez connu depuis les travaux de M. Poncelet (Journal de Crclle, t. IV, p. 37).

On peut, par la théorie des polaires réciproques, déduire des propositions que nous avons obtenues pour la développable circonscrite à deux surfaces du second degré d'autres propositions pour la courbe d'intersection de deux surfaces de ce degré. Nous nous bornerons à quelques observations.

La courbe d'intersection G4 de deux surfaces du second ordre appartient à une infinité de surfaces de cet ordre qui forment une série continue. S'il y a pénétration, quatre cônes £, £', â* et tfw font partie de cette série : chacun d'eux est la transition d'une suite d'hyperboloïdes à une nappe, à une suite de surfaces dépourvues de génératrices rectilignes. Deux des cônes <T et <T' ont quatre génératrices tangentes à C4 ; les surfaces de la série comprises entre eux sont des hyperboloïdes à une nappe ayant huit génératrices tangentes à C4. Les deux autres cônes <? et £' n'ont pas de génératrices tangentes à C4; les surfaces comprises entre eux sont des hyperboloïdes à une nappe dont aucune génératrice ne touche C4. Entre <?' et ***, et entre $m et £, la série comprend des surfaces dépourvues de génératrices rectilignes ; chacune de ces deux suites commence et finit ordinairement par des hyperboloïdes à deux nappes ; mais, lorsqu'un cône de transition est un cylindre, des ellipsoïdes succèdent aux hyperboloïdes à une nappe.

Quand les surfaces se coupent avec arrachement, la série ne contient quo deux cônes, et par suite elle se divise en deux parties seulement. L'une comprend des surfaces du second ordre dépourvues de génératrices rectilignes, l'autre des hyperboloïdes à une nappe ayant quatre génératrices tangentes à C4. Chacun des deux cônes a deux génératrices tangentes à C4.

Les génératrices d'un hyperboloïde tangentes à la courbe appartiennent en nombre égal aux deux systèmes de génération rectiligne. Les tangentes de C4 sont ainsi réparties en groupes. Dans le cas général, chacune d'elles en rencontre quatre autres, et la développable osculalrice de C4 a quatre lignes doubles distinctes : elle est par suite du huitième ordre (art. 530). (Voir sur la développable osculatrice d'une courbe du quatrième ordre, intersection de deux surfaces du second ordre, les théorèmes, 23 24 et 25 dans la Communication faite par M. Chasles à l'Académie des Sciences les 17 et 24 février 1862.) il. i3

pas (art. 510). Les ellipsoïdes appartiendront, dans le premier cas, à la même série, et dans le second aux deux séries distinctes.

Le second cas se présente seul dans les applications; si Ton opère graphiquement, on prendra pour plans coordonnés les plans des diamètres conjugués parallèles des sections diamétrales qui sont conjuguées avec la ligne des centres. Les tangentes communes des sections contenues dans chacun des plans coordonnés seront les quatre génératrices d'un groupe simple; elles donneront par leurs croisements la position et les longueurs des diamètres conjugués parallèles des direclrices A et A'. Ces courbes étant ainsi déterminées, on continuera l'épure comme aux articles 488-493.

Pour avoir la courbe de contact ou caractéristique d'un ellipsoïde, on choisira divers points sur une directrice; on fera passer par chacun d'eux un plan contenant les deux génératrices qui s'y croisent; on déterminera la courbe suivant laquelle il coupe l'ellipsoïde, et enfin les points où cette courbe est touchée par les génératrices.

556. Si la développable est déterminée par les directrices A" et A", en plaçant l'origine au centre de A'', et désignant par a", |3", 7" et a", j3\ 7" les coordonnées de deux points de ces courbes situés sur une même génératrice, nous aurons

Des calculs analogues à ceux de l'article 525 font ensuite trouver, pour déterminer les diamètres conjugués d'une surface du second degré inscrite, les équations

dans lesquelles n, et v sont les abscisses du centre de A" et du centre de la surface inscrite.

A l'aide de ces formules on peut établir l'équation d'une surface du second degré inscrite dans la développable, en fonction du paramètre v\ puis les équations des caractéristiques, de la développable et de son arête de rebroussement (4).

(') D'après le théorème de l'article 451, l'arête de rebroussement est sur une surface réglée dont les génératrices passent par les centres de courbure des points correspondants de A et de A'. Lorsque la première courbe est un cercle, comme sur la PL XXIV, cette surface devient un cône ayant pour sommet le centre du cercle et pour directrice la développée do A'.

M. Ernest Lebon a trouvé des équations simples pour l'arête de rebroussement dans le cas général