CHAPITRE II. — SURFACES o'OMBRE ET DE PÉNOMBRE

557. Cas où les surfaces inscrites sont concentriques. Surfaces homo/ocales. Si une développable est déterminée par deux coniques concentriques À et A", nous prendrons pour axes coordonnés l'intersection de leurs plans, et les diamètres qui dans chacune d'elles sont conjugués avec cette droite; puis désignant par a, |3, 7 et a", j3", Y 'es coordonnées de deux points de ces courbes situées sur une même génératrice, nous aurons

(1) ft'+V-1' ) p +" *»-'•

La seconde directrice A' est à l'infini; la quatrième A" est concentrique avec les premières, et située dans le plan des axes des abscisses et des ordonnées z (art. 508).

Les tangeutes des directrices, aux points considérés de ces courbes, situés sur une même génératrice, ont pour équations

étudié aux articles 494 et suivants. Nous indiquerons la marche qu'il a suivie et les résultats qu'il a obtenus.

La projection d'une génératrice de la développable sur le plan de A" est donnée par l'équation

que l'on peut écrire

L'intersection d'un point de cette droite avec celle qui lui est infiniment voisine donne, pour l'ordonnée zê d'un point de l'arête,

cl? d? <b/

En portant' cette valeur de zê dans les équations d'une génératrice, on détermine les coordonnées jrê et/# du point considéré de l'arête do rebroussement, en fonction de la variable indépendante 7. Calculant ensuite les équations des deux cônes qui ont pour directrice l'arête et pour sommets les centres A et 0 de A et de A", on trouve

[f-^r-oo5-^)-

X ayant la valeur indiquée à l'article 51 1 .

102 LIVRE VI. — SURFACES DÉVEL0PPABLE8.

deux cylindres circonscrits aux coniques. Les équations (5) montrent que dans ce cas (j.2 est toujours égal à la valeur commune de b2 et de q*f et par suite que toutes les surfaces du second degré inscrites sont bitangentes. Ces résultats étaient faciles à prévoir.

559. Les équations de la caractéristique d'une surface inscrite en fonction de ses demi-axes sont très-simples. On les obtient facilement en considérant celte courbe comme le lieu des points de contact des plans tangents à la développable, avec une surface du second ordre inscrite.

Les coordonnées du point de contact du plan (3) avec la surface (4) sont

;r = AX2, y = K\)r, s = Cv2;

portant pour A, B et C les valeurs trouvées à l'article 537, et éliminant a" et y à l'aide des relations (î) et (2), on obtient

Enfin l'élimination de /3* entre ces équations prises deux a deux donne

X« + p ~" ïf p + v " lf

(b2 — q2)X ~~ [b* — q2)vi ~ l '

La construction des projections des caractéristiques peut faire le sujet d'un exercice graphique intéressant.

L'élimination de X, [i et v entre deux des trois équations que nous venons de trouver, et deux des équations de condition (5), donnerait l'équation de la développable que nous avons obtenue d'une autre manière.

510. Si une développable doit être circonscrite à deux surfaces concentriques du second degré, on prendra pour axes coordonnés les diamètres conjugués communs en direction ('), etl'on aura deux systèmes de valeurs de A2, jm-etv2 qui satisferont aux équations (5); on obtiendra ainsi quatre équations distinctes, à l'aide desquelles on pourra déterminer les quantités b2,c2,p2 et q2. Les coniques directrices seront alors connues.

541. A l'article 508, nous avons obtenu la développable circonscrite à deux coniques concentriques, en considérant la surface déterminée par les courbes

( ' ) On démontre par des raisonnements analogues à ceux de l'article 502 que deux surfaces concentriques du second degré ont un système de diamètres conjugués communs en direction. Ces lignes, que Monge a appelées droites diamétrales conjuguées communes, sont toujours réelles. On peut consulter sur cette question un Mémoire de M. Chaslos ( Correspondance sur l'École Polytechnique, tome U, page 3ig).