Les équations d'une génératrice de la développable sont

Si nous plaçons le sommet du cône directeur à l'origine, nous aurons les équations de sa génératrice, en supprimant le terme constant dans les équations qui précèdent :

yx -f- a"z = o, yy -h (/3" — /3) z = o.

Pour avoir l'équation du cône directeur, il faut éliminer les variables auxiliaires j3, 7, a" et /3" entre ces équations, celles des directrices (1) et la relation (2), qui établit la correspondance entre les points de ces courbes situés sur une même génératrice; on obtient

(9) ^-t-^tr^-^ = °-

Quand les coefficients des trois termes sont de même signe, le cône n'a de réel que son sommet, et la développable est imaginaire; c'est-à-dire que les surfaces représentées par l'équation (6) n'ont pas d'enveloppe, bien qu'elles forment toujours une série continue. On peut d'ailleurs supposer que le terme constant de

lo4 LIVRE VI. — SURFACES DÉVELOPPA BLES.

l'équation (9) avait d'abord une valeur déterminée, qui s'est progressivement réduite à o; le sommet réel du cône se présente donc comme un ellipsoïde évanouissant ayant des diamètres conjugués dirigés suivant les axes coordonnés, et proportionnels aux longueurs p9 \q- — b2 et \j— c2. La section de cet ellipsoïde (ou de tout autre ellipsoïde homothétique) par un plan, est une courbe semblable à la conique double située à l'infini dans un plan parallèle à celui-là. 544. On déduit des équations (5)

Quand les deux surfaces directrices sont homofocales, c'est-à-dire quand leurs sections principales sont situées dans les mêmes plans et ont les mêmes foyers, les axes coordonnés sont rectangulaires, et les binômes [i2 — v2 et X2 — jxa devant avoir les mêmes valeurs pour deux grandeurs différentes de X2, il faut que l'on ait

Les équations ci-dessus se réduisent alors à

fi»-v1=y1f X2-fx2 = -i2, d'où

Les trois binômes (fi2 — v2), (X2 — fi2) et (X2 — v2)qui déterminent la position des foyers des sections principales ont donc des valeurs indépendantes des grandeurs des axes, et, par suite, toutes les surfaces du second degré inscrites dans la développable sont homofocales.

En vertu des relations (10), l'équation (9) devient

r +yî + :2 = o,

et par conséquent le cône directeur se réduit à son sommet qui se présente comme une sphère évanouissante. On voit d'après cela, conformément aux considérations que nous avons présentées à l'article 543, que des sur/aces du second ordre homofocales sont inscrites dans une même développable, qui a pour une de ses lignes doubles un cercle imaginaire dans un plan situé à l'infini et de direction indéterminée ( • ).

Réciproquement la ligne double située à l'infini n'est semblable à un cercle, quelle que soit la direction de son plan, que quand l'ellipsoïde évanouissant (9) est une sphère, ce qui exige que les axes soient rectangulaires et que les équa-

( ' ) M. Chasles, Résumé d'une théorie (tes surfaces du second ordre homofocales ( Comptes rendus de V Académie des Sciences; 1860).