SURFACES D'ÉGALE PENTE

Définition et principales propriétés.

545. Une surface est d'égale pente, quand ses plans tangents rencontrent sous une mime inclinaison un plan fixe que l'on suppose horizontal.

Les plans également inclinés à l'horizon que l'on peut faire passer par un point sont tous tangents à un cône qui est de révolution : une surface d'égale pente est donc développable (art. 469).

De ce qu'une développable et son cône directeur ont leurs plans tangents res- Tpectivement parallèles, on conclut qu'une développable est d'égale pente quand 1 son cône directeur est de révolution; que, pour une telle surface, les génératrices r sont les lignes de plus grande pente des plans tangents; que par suite elles rencontrent normalement la trace horizontale, et que cette courbe est ainsi une développante de l'arête de rebroussement et de sa projection horizontale; enfin que le contour apparent d'une surface d'égale pente sur un plan vertical est formé par l'ensemble des génératrices parallèles a ce plan.

L'arête de rebroussement d'une surface d'égale pente rencontre sous un même angle toutes les génératrices du cylindre qui la projette sur un plan horizontal : c'est une ligne géodésique de ce cylindre ou une hélice générale. Réciproquement toute développable dont l'arête est une ligne géodésique d'un cylindre quelconque a ses plans tangents également inclinés sur un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre.

Une surface d'égale pente est déterminée quand on connaît l'angle sous lequel elle- rencontre l'horizon et une directrice (art. 467).

Le cône directeur d'une surface d'égale pente étant toujours facile à construire, on résout aisément pour cette surface les divers problèmes que nous avons examinés à l'article 470.

L'aire d'une portion finie d'une surface d'égale pente, terminée par une courbe H. i4

lo6 LIVRE VI, — SURFACES DÉVELOPPÀBLES.

quelconque soumise ou non à la loi de continuité, est à sa projection horizontale dans le rapport du rayon au cosinus de l'inclinaison constante des plans tangents. La quadrature de cette surface peut ainsi être ramenée à celle de la quadrature d'une courbe plane. Cette propriété, qui résulte de la définition même de la surface d'égale pente, n'appartient évidemment a aucune autre (')..

546. Nous avons vu que les génératrices d'une surface développable sont parallèles à celles de son cône directeur, et que le parallélisme subsiste après le développement de ces deux surfaces (art. 481). Nous savons d'ailleurs qu'il est très-facile de développer un cône de révolution (art. 167). D'après cela, quand on a fait le développement d'une surface d'égale pente en se servant de deux directrices, et par une construction analogue à celle qui a été exposée à l'article 492, on peut vérifier par le développement du cône la direction de diverses génératrices. Lorsque Ton connaît une section horizontale, les génératrices devant rester normales a cette ligne dans le développement seront tangentes à des cercles décrits successivement des points obtenus sur sa transformée, avec des rayons égaux aux arcs sensiblement rectilignes dans lesquels elle aura été divisée. On pourra donc faire le développement d'après celui du cône, sans considérer une seconde directrice.

Les raisonnements de l'article 167 montrent que deux génératrices d'un cône de révolution dont les projections sur un plan perpendiculaire à l'axe comprennent un angle a font, après le développement de cette surface, un angle égal

à a y—, {Jîg. \ol\) ou à a coss, en appelant s l'angle des génératrices avec le plan

horizontal. Celle formule s'étend à toutes les développablcs dont le cône directeur est de révolution, c'est-a-dire aux surfaces d'égale pente; elle peut servir à vérifier la position de quelques génératrices sur le développement.

Exercices.

547. On rencontre souvent les surfaces d'égale pente dans les terrassements. Nous n'avons pas voulu choisir des exemples qui auraient exigé des explications techniques; ceux que nous présentons, bien que très-simples, suffiront pour montrer comment les problèmes relatifs à ces surfaces peuvent être résolus.

Ier Exemple. — Excavation jaite dans un terrain horizontal y avec talus réglés à la pente de 45°. (Fig, 272.)

548. On propose de représenter une excavation dont l'ouverture sur le terrain horizontal XY est l'ellipse ( AB, A'B'), et dont le fond est établi sur le plan horizontal xy : les talus sont réglés à la pente uniforme de 45° sur l'horizon.

1 ) Mo.nge, Application de l'Analyse à la Géométrie, § VIII.