CHAPITRE III. — SURFACES D'ÉGALE PENTE
Nous prenons sur la directrice des points de division arbitraires, mais symétriquement placés par rapport aux axes, et nous obtenons immédiatement les projections horizontales des génératrices qui passent par ces points, en traçant des normales à l'ellipse.
Les talus étant inclinés à 45°, si, à partir de la directrice, nous portons sur la projection de chaque génératrice une longueur égale à la distance qui sépare les deux plans horizontaux, nous aurons la trace de la dévcloppable sur le plan xy. Cette courbe abpqcdqpa possède des points doubles/? et q situés sur l'axe AB, et des rehaussements aux points a, b, c et d où elle rencontre la développée de l'ellipse, projection de l'arête de rebroussement.
Nous obtenons les projections verticales des génératrices, en relevant sur les droites XY et xy les points des projections horizontales qui sont sur l'ellipse et sur la courbe abcd.
549. Une courbe a autant de rebroussements que sa projection, quand aucune de ses tangentes n'est une projetante (art. 218). Toutes les génératrices d'une surface d'égale pente étant inclinées sur le plan horizontal, leur enveloppe doit avoir autant de rebroussements que sa projection sur ce plan, c'est-à-dire un pour chaque point de la directrice horizontale, où le rayon de courbure atteint une valeur maximum ou minimum. Dans notre exercice la directrice est une ellipse, et nous avons quatre points de rebroussement. Ceux qui correspondent aux sommets C et D, où le rayon de courbure est un maximum, sont trop éloignés pour avoir pu être placés sur la figure; les deux autres sont (I, Y) et (J, J').
550. Le lieu des points doubles (pfpf) et (q, qf) estime ligne double qui devient parasite aux sommets (I, Y) et (J, J') de la développable. Pour déterminer la nature de cette courbe, nous remarquons que l'un quelconque de ses points m' se projette au point m où la normale correspondante Mm de l'ellipse rencontre Taxe AB.
L'ellipse directrice ayant pour équation
une normale Mm est représentée par
En faisant^ nul, on trouve pour l'abscisse du point m
(a) x = a--ct,
Io8 LIVRE VI. — SURFACES DÉVELOPPA BLES.
et Ton a pour déterminer la distance des points M et|m l'équation
Mais en appelant i la cotangente de l'angle que les génératrices de la développable font avec le plan horizontal, et z l'ordonnée verticale du point m', on obtient
Min=i9ss, et par conséquent
(3) Ps> = *£- + jS«.
L'élimination de aa et de /3a entre (i), (2) et (3) donne pour équation de la ligne double
Cette courbe est donc une ellipse, dont les sommets (E, E') et (F, F') sont aux foyers de la directrice. Dans notre exercice i est égal à 1, et par suite le demiaxe O'O" est égal à b ou OC.
La surface a dans le plan vertical CD une seconde ligne double dont on peut déduire l'équation de la précédente, par de simples permutations de lettres : c'est une hyperbole qui a le même centre que les deux ellipses AB et ET'. Un de ses sommets est au point 0"où se rencontrent les génératrices AT etB'J'. La longueur OH ou OG de son demi-axe non transverse est égale à OE et à OF.
La première ligne double limite l'étendue que l'on peut donner à l'excavation; celle qui est dans le plan CD n'a pas d'importance dans la question qui nous occupe.
551. Si l'ellipse horizontale AB était la base d'une plate-forme élevée en remblai sur le plan XY, avec des talus inclinés à 45°, les génératrices de la surface auraient les mêmes projections horizontales, mais elles seraient inclinées en sens opposé; ces droites prolongées détermineraient par leurs intersections deux arcs doubles qui appartiendraient l'un a l'ellipse ET', l'autre a l'hyperbole contenue dans le plan CD. Le premier est symétrique de I'J' et limite la hauteur que l'on peut donner au remblai.
La développable complète a donc trois lignes doubles concentriques qui sont des coniques. Les génératrices sont d'ailleurs parallèles deux à deux, et le cône directeur est de révolution; il en résulte que la surface possède, à l'infini, une quatrième ligne double qui est également une conique. Cette développable est une variété de celle que nous] avons étudiée aux articles 508 et 537.
