CHAPITRE III. — SURFACES D'ÉGALE PENTE

IT Exemple. — Excavation faite dans un terrain incliné, avec talus réglés à une inclinaison

donnée. (Fi g. 273.)

552. On propose de représenter une excavation dont l'ouverture sur le plan incliné XY est l'ellipse (AB, A'B'), et dont le fond est établi sur le plan horizontal xy : les talus sont réglés à une pente uniforme qui est dpnnée.

La surface est l'enveloppe des positions d'un cône de révolution dont les génératrices ont une pente connue, et dont le sommet parcourt la directrice (art. 467) : sa trace sur le plan xy est l'enveloppe des traces du cône.

Nous prenons sur la directrice AB des points de division placés d'une manière symétrique par rapport aux axes, puis, menant par la projection verticale B'de l'un d'eux une droite B'G ayant la pente donnée, nous obtenons la» longueur LG du rayon du cercle, trace horizontale du cône lorsque son sommet est au point (B, B'). Nous trouvons de la même manière que le rayon de la trace est KF lorsque le sommet est au point (A, A'), et nous pourrions construire ainsi les rayons pour toutesles positions considérées du cône; mais, comme ils sont évidemment proportionnels aux hauteurs du sommet au-dessus du plan xy, c'est-à-dire aux ordonnées de la ligne XY, nous pouvons tracer une droite /£ dont les ordonnées seront les rayons cherchés. Nous en obtenons deux points/et g en portant les longueurs KF et LG en K/et Lg ( ■ ). La trace horizontale de la surface est l'enveloppe des cercles décrits des points de division de l'ellipse comme centres, avec les ordonnées correspondantes de la ligne/g pour rayons.

553. Le point c où le cercle dont le centre est C touche l'enveloppe appartient à la génératrice Ce de la développable et peut servir a la tracer. SiJ'on veut apporter plus de précision dans la construction, on mènera par la tangente CT de la directrice un plan tangent au cône dont le sommet est (C, C) (art. 468).

Nous avons fait l'opération en prenant le plana:,/, pour plan horizontal. Les points de contact metn appartiennent l'un à la génératrice cherchée, l'autre à la génératrice de la nappe extérieure que nous négligeons, parce qu'elle ne présente aucun intérêt dans la question spéciale qui nous occupe.

Si le point T était sur le cercle, la tangente de la directrice au point (C, C) serait une génératrice du cône et de la développable, et ce point serait un sommet (art. 468). Quand la tangente (CT, XY) est moins inclinée que les génératrices du cône, le point T est dans le cercle, et le point C appartient à un arc parasite de la courbe. Dans le cas où la tangente la plus inclinée de la directrice ferait avec

(' ) L'axe (AB, A'B' ) de l'ellipse est une ligne de plus grande pente du plan XY. Il résulte des symétries qu'introduit cette disposition, que les génératrices issues des sommets A et B sont parallèles au plan vertical, et qu'on peut obtenir les points /et g, en prenant les longueurs K/et Lg égales à Ko! et Lb'.

le plan horizontal un angle plus grand que celui des génératrices du cône, la surface n'existerait pas : cela n'arrivera jamais quand la directrice sera fermée, car elle aura alors des tangentes horizontales.

554. On voit, par la construction que nous avons exposée, que sur une surface d'égale pente les deux génératrices Cm et Cn, qui se croisent en un même point C de la directrice, font des angles égaux avec cette courbe dans l'espace et en projection horizontale.

Sur la fig. 273, l'enveloppe des cercles n'a ni points doubles, ni rebroussements, ce qui montre que le plan xy ne rencontre pas l'arête de la développable.

Etude de la surface d! égale pente circonscrite a une conique, dans le cas où Vun des jures de cette courbe est une ligne de plus grande pente de son plan.

555. D'après la position que nous supposons à la directrice A, nous pouvons la représenter par les équations

(0 y = wia, --t-^=i.

La génératrice qui passe par le point considéré appartient au cône directeur, placé de manière à avoir son sommet à ce point, et par suite les coordonnées de l'un quelconque des points de cette droite satisfont à l'équation du cône

(x - a)2 + (y - j3)2 = i2 (z - ma)2.

1 est la cotangente de l'angle que les plans tangents de la surface font avec l'horizon. Cette équation, ordonnée par rapport à a et à j3, devient

(2) (1 — m*i*)u2 + fl* + *(/mas ~x)a — v/3 -+- x2 -4- y2 — i2z2 =0.

La développable étant l'enveloppe des positions du cône, la génératrice ne cesse pas de lui appartenir, quand son sommet éprouve un déplacement infiniment petit sur la directrice (art. 432). Nous pouvons donc différentier l'équation (2) en y considérant a?, y et z comme constantes. Nous obtenons ainsi l'équation

(, - mH2)a + (mPz - x) + (|3 -y)^ = o,

qui devient, lorsqu'on y introduit la valeur de -±- déduite de l'équation (1),

(3) (i2 - a2 -h a2m2i*2)a/3 - b2ya - a2{mi2z - x)$ = o ( * ),

(' ) Nous avons employé le Calcul différentiel, parce qu'il conduit directement à l'équation (3) du plan