CHAPITRE III. — SUKFACES D'ÉGALE PENTE

Si nous appelons 9 l'angle dont il faut faire tourner les axes horizontaux pour les faire coïncider avec ceux du système auquel se rapportent les équations (1), nous aurons

ol = acos^ — /5siny, /S' = asino -+- /Scosy.

Portant ces valeurs dans les équations (12), et égalant leurs coetlicients a ceux des équations (1) et (a), on trouve

M — mcosf -r /isinf y N — — msin<p -h rteosy.

Introduisant enfin ces expressions dans l'équation de condition (5), on obtient, toutes réductions faites,

(i4) rta/wm2tang2? — [a'{1 — w"'"J -- ^2(i — >*"'").] tango — b2mnï- = o.

Il existe donc deux valeurs pour l'angle ? qui détermine la position de la projection horizontale de l'intersection du plan de la ligne double représentée par les équations ( 6) et ( 1 1 ), avec le plan de la directrice A ; le produit de leurs tangentes

est égal a ,* et par suile les droites déterminées dans le plan de A sont deux

diamètres conjugués de cette conique, comme nous savons que cela doit être.

572. On peut vérifier les formules que nous avons obtenues en y supposant n nulle, ce qui nous ramène au cas étudié dans le paragraphe précédent.

Les deux valeurs de <p données par l'équation (14) sont o et 900.

En faisant 9 = 0 dans les équations (i3), on obtient

A r= 4> C = o, B = -£-> M = rn, N = o. a2 b2

L'équation (6) du plan de la courbe devient

Enfin l'équation (10) se réduit à l'équation (7) de l'article 557.

Opérant de la même manière sur la valeur 90° de 9, on obtient la seconde des équations (4) de l'article 556 et l'équation (8) de l'article 558. Nous trouvons donc tous les résultats des calculs plus simples du paragraphe précédent, et nous nous serions dispensé de les établir directement si nous n'avions pas fait du cas qu'ils concernent le sujet d'un de nos principaux exercices graphiques.

Les équations que nous venons d'obtenir résolvent complètement la question. Nous aurions pu faire disparaître de l'équation (4) le troisième et le cinquième

terme, au lieu du premier et du quatrième : le facteur supprimé eût alors été a; mais, eu égard a la symétrie qui existe jusque-là dans les formules, nous eussions obtenu un système d'équations équivalent à celui des équations (5), (6) et (10).

573. Pour rendre les différentes coniques comparables entre elles, il faut les rapporter a un même système d'axes, qui sera naturellement celui des équations (12). Cela revient à faire tourner les axes horizontaux de l'angle — ç>, et par conséquent nous avons entre les anciennes coordonnées et les nouvelles, que nous indiquons par des minuscules, les relations

(i5) X = xcosy -hysinf,, Y = — arsin^ -f-ycos?, Z = s.

Ces valeurs et celles des coefficients données par les équations (i3) doivent être portées dans les équations (6) et (1 1). La substitution dans l'équation (6) donne pour l'équation du plan de la conique

(16) a*[mi*z — a?) tango — b2(ni2z — v) = o.

Quelle que soit celle des deux valeurs de l'angle r? que l'on considère, le plan représenté par l'équation (1G) contiendra la droite dont les équations sont

mrz — x = o, ni'2 z — j' = o, nx — my = o.

Cette ligne est donc l'intersection des plans des deux directrices À" et A"; mais elle est évidemment perpendiculaire à la trace horizontale du plan de A, dont , l'équation est, d'après (12),

mx -r ny = o;

par conséquent, V intersection des plans de deux lignes doubles est perpendiculaire à la trace horizontale du plan de la troisième.

574. Nous allons maintenant transformer l'équation (1 1) de la projection horizontale de la ligne double; nous en éliminons d'abord r à l'aide de l'équation de condition (5), pour que les constantes soient indépendantes les unes des autres, et que les réductions dont l'équation définitive est susceptible se présentent d'elles-mêmes :

(P- AB)'(NX-MVi8 C(M'-N';-(A-R)MN ai - "AN + M

Introduisant les valeurs (i3) et (i5) et réduisant séparément les diverses exprès-