CHAPITRE III. — SURFACES D'ÉGALE PENTE. lai

sions qui figurent dans l'équation, nous obtenons

[nx — m y)* (a*— b2]

nui

a7 b* (ma1 s\i\o — nb- coso ] a7b7\m coso -h#î sfifô)

f mfrcoso -+- na* s\ï\o x' -f- y' (/ï2.r sino — //:rcos?;a;wi cosç -f- nsinç)"] |a'6,(mcos9-+- nsino •* />L **/>• n'—h \siiiç>cuscp^///«:'siiio — /^^foso, |

Ordonnant par rapport aux variables et réduisant, on trouve

nx2 m y* nm'a2 — b2)

ros? si 119 /// eus 9 -+- /* si n 9

Celte équation montre que les projections des trois coniques, lignes doubles de la développable, ont les mêmes axes en direction. Si nous appelons a{ et bK les demi-axes de la conique représentée par l'équation que nous venons d'obtenir et considérée comme une ellipse, nous aurons

, v 5 /!?(«'— b7) ,., 11 V — i'ï tango

K '' l m -f- /iiango ' w-h/ilango

d'où

1^5 coniques projections horizontales des trois lignes doubles sont homofocales (M.

575. Pour représenter graphiquement la surface, les données étant l'inclinaison des génératrices, la projection horizontale de la directrice A et son plan, on commencera par déterminer les quatre génératrices qui sont tangentes k cette courbe. Comme elles ont une inclinaison connue, et qu'elles sont dans un plan donné, on peut construire des droites qui leur soient parallèles, et on les trace ensuite comme tangentes à A. On obtient ainsi sur le plan horizontal un parallélogramme circonscrit à la projection de A, et analogue à £Q/t,P [fig. 27.4) ou a A'C'B'D' [fig. 275). Deux des sommets de ce parallélogramme appartiennent à la projection de A", et les deux autres a la projection de A". Les diagonales sont les traces des plans de ces courbes sur celui de A.

Cette construction fait défaut lorsque la surface n'a pas de sommets sur A, car alors on ne peut pas mener à cette directrice des tangentes ayant l'inclinaison donnée. Dans ce cas, pour avoir les traces des .plans de A'7 et de A*, on peut calculer les valeurs de tang? a l'aide de l'équation (14).

(') Les théorèmes établis aux articles .773 el 574 ont attiré l'attention de M. Cromona, qui en a donné des démonstrations très-ingénieuses fondées sur les principes de la Géométrie moderne {Nouvelles Annales de Mathématiques y i865, p. «71).