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l38 LIVRE Vil. — SUBFACES GAUCHES,

appliquer, pour construire la projections, la méthode très-simple de l'article 59. Les projetantes sur le plan P ne sont pas, il est vrai, perpendiculaires à ce plan, mais elles sont parallèles à R, et la distance d'une projection à la ligne de terre YY, indique bien la hauteur du point dans l'espace au-dessus du plau horizontal R.

Nous avons diminué toutes les hauteurs, sur le plan S, d'une longueur égale à AA".

Par suite des symétries que nous avons pu introduire sur les figures, les côtés du quadrilatère gauche ( A'BT'D", ABCD) ont deux à deux une même projection sur le plan S; les points de division coïncident aussi deux à deux, et par suite les différentes génératrices des deux systèmes se superposent.

Un point m7 sommet de l'un des losanges élémentaires de la figure R, a par rapport à AT" une position symétrique d'un autre sommet mq; les génératrices qui passent par l'un de ces points se confondent, en projection sur le plan S, avec les génératrices qui passent par l'autre; la corde mmK de l'espace est donc projetée sur un seul point m'; de la résulte qu'elle est perpendiculaire au plan AT" et coupée par lui en deux parties égales comme sa projection mm^ D'ailleurs on peut disposer la figure de manière qu'un point quelconque donné sur la surface soit au sommet de l'un des losanges; le plan A"C" perpendiculaire a R est donc principal, c'est-à-dire qu'il partage en deux parties égales les cordes de la surface qui lui sont perpendiculaires.

605. La construction des projections des génératrices sur le plan T perpendiculaire à R, et passant par la diagonale B"D" du losange, se fait de la même manière et donne lieu aux mêmes considérations. Le plan T est donc un second plan principal, et le paraboloïde a ainsi deux plans principaux rectangulaires entre eux, contenant l'axe, et parallèles aux plans bissecteurs des angles des deux plans directeurs.

Un troisième plan principal (s'il pouvait exister) couperait au moins un des premiers, et rinlersection serait un axe de la surface; mais, comme le paraboloïde n'a qu'un axe (art. 595), le nouveau plan principal devrait contenir cette ligne. Maintenant, si l'on remarque que les sections par des plans perpendiculaires aux deux plans directeurs sont des hyperboles (art. 593), on verra que les plans déterminés par les axes de ces courbes sont seuls principaux.

606. Deux génératrices qui sur le plan R se croisent en un point n de AT" ont une même projection verticale sur S; leur plan est donc perpendiculaire à S, et le point n où il touche la surface appartient au contour apparent sur ce plan. L'enveloppe des projections des génératrices sur le plan S est donc précisément la section de la surface par le plan AT" qui contient l'axe, c'est-à-dire une parabole (art. 600).

Le contour apparent sur le planT est également une parabole, section de la