CHAPITRE I. — PARABOLOÏDE. l

surface par le plan B"D". Quand l'angle des plans directeurs est droit, ces deux paraboles sont évidemment superposables, et le paraboloïde est isoscèle. Dans le cas général, lorsque les plans directeurs ne sont pas rectangulaires, les paraboles principales ont des paramètres inégaux, et le paraboloïde est scalène.

Cônes et cylindres circonscrits. Courbes d'ombre.

607. Considérons une parabole section du paraboloïde par un plan parallèle à Taxe (Jig. 277), un de ses diamètres Axf les tangentes SM et SM' issues d'un point de cette droite, et la sécante de contact MM' polaire du point S : on sait que cette droite est parallèle à la tangente en A, et que les segments SA et AP sont égaux.

Si le plan tourne autour de Ax, il coupera la surface suivant des paraboles de différents paramètres, mais les polaires du point S passeront toujours par le point P, et, comme elles doivent être parallèles au plan tangent en A, elles formeront un plan qui est le plan polaire du point S.

L'intersection de la surface par le plan polaire est le lieu des points de contact des tangentes issues du point S, et par conséquent la courbe de contact du cône circonscrit qui a son sommet au point S; cette ligne est une hyperbole, parce que le plan est parallèle aux génératrices qui se croisent en A.

En résumé, la courbe de contact d'un cône circonscrit à un paraboloïde est une hyperbole située dans un plan parallèle à celui qui louche la sur/ace au point où elle est rencontrée par le diamètre qui passe au sommet du cône. Les segments interceptés sur le diamètre entre le sommet, la surface et le plan de la courbe de contact sont égaux.

608. Quand le sommet S est sur le paraboloïde, le point P se confond avec lui, et la courbe de conlact se compose de deux génératrices. Pour comprendre comment il peut y avoir une ligne d'ombre quand le point lumineux est sur la surface, il faut concevoir qu'elle recouvre un corps opaque, qui sera, par exemple, du côté noir {fig. 288). Un point lumineux placé en (0",0",0IV) n'éclairera pas les points BIT et DIV, tandis qu'il enverra librement des rayons aux points Am et C".

609. Si une sécante d'un paraboloïde se transporte parallèlement à elle-même jusqu'à devenir tangente, les deux points situés sur la surface se confondront avec le point milieu qui est dans le plan diamétral conjugué à sa direction ( art. 596). La courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un paraboloïde est donc située dans le plan diamétral conjugué avec la direction des génératrices du cylindre : c'est par conséquent une parabole, car tous les plans diamétraux sont parallèles à l'axe.

On arrive au même résultat en remarquant que, quand le point S s'éloigne

l4o LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

indéfiniment sur la tangente MS (fig. 277), le point M' s'éloigne aussi sur la parabole, et qu'à la limite la droite MM' est parallèle à Taxe.

On voit que la courbe d'ombre d'un paraboloïde est toujours plane.

Diverses générations du paraboloïde.

610. La surface déterminée par trois directrices rectiUgnesA9A\ A", quisont parallèles à un plan P (fig. 281) et dont deux quelconques ne se trouvent pas dans un même plan, est un paraboloïde, car les droites A, A' et A" appartiennent à un paraboloïde don! le plan P est directeur et qui a pour directrices deux génératrices quelconques B et B' de la surface; les droites qui rencontrent les directrices données sont donc les génératrices du second système de ce paraboloïde.

Les droites A, A', A" déterminent sur B et B' des segments que l'on peut considérer comme interceptés par trois plans parallèles. On a donc

Il résulte de là que, au lieu de donner un plan P auquel la génératrice doit rester parallèle, on peut assigner deux de ses positions A et A', et l'assujettir à se mouvoir de manière à intercepter sur les directrices B et B' des segments E"E' et F"F' proportionnels à E'E et F'F.

611. Si les droites B et B' sont projetées sur un plan quelconque (fig. a85), en portant sur leurs projections B, et B\ une suite de longueurs respectivement égales aux projections des segments EE' et FF' {fig. 281), et joignant les points de division, nous aurons les projections des génératrices parallèles au plan P, qui sont aussi celles de l'autre système, car chacun de leurs plans projetants contient deux droites de la surface (art. 592).

L'enveloppe des projections des génératrices est le contour apparent du paraboloïde ou la trace du cylindre circonscrit perpendiculaire au plan de projection, et par conséquent une parabole (art. 609). Le point de tangence de l'une des droites est la projection du point où le plan projetant dont elle est la trace touche la surface et où les deux génératrices qu'il contient se croisent.

Nous avons ponctué la fig. a85, en ne considérant les diverses droites que comme des projections de génératrices parallèles au plan P.

Quand le plan de projection est perpendiculaire au plan directeur parallèle àB et h B' [fig. 281), les projections B, et B\ (fig. a85) sont parallèles, et les génératrices du système P sont projetées suivant des droites convergentes. La figure se trouve par conséquent disposée comme les projections obliques P ou Q {fig- a88)f mais le point de concours n'est pas la projection du sommet.

612. Si nous prenons sur les directrices B et B' (fig. 281) deux points fixes