CONOÏDE

Propriétés générales. Retour sur le paraboloïde.

640. Lorsqu'une surface réglée a un plan directeur, si elle est développable, deux génératrices consécutives quelconques étant dans un même plan et parallèles à un autre plan sont parallèles, et la surface est un cylindre. Par conséquent, toute surface réglée à plan directeur qui n'est pas un cylindre est gauche.

On appelle conoïde général ou simplement conoïde la surface gauche qui a un plan directeur. Le cône directeur de la surface se réduit à ce plan.

Le paraboloïde ayant un plan directeur dans chacun de ses deux systèmes de génération rectiligne peut être considéré comme un conoïde de deux manières différentes.

641. Nous avons reconnu que tout plan contenant une génératrice d'une surface gauche et tangent au point de celle droite situé à l'infini est parallèle au plan tangent du cône directeur le long de la génératrice correspondante (art. 615); il suit de là que tous les plans tangents d'un conoïde aux points situés à V infini sont parallèles au plan directeur, et que ce plan est directeur de tous les paraboloïdes de raccordement comme de la surface elle-même. Nous voyons de plus qu'un conoïde n'a pas de développable asymptote, parce que tous les plans dont cette surface est l'enveloppe sont parallèles.

Une surface réglée et son cône directeur sont coupés suivant une même ligne par un plan situé à l'infini (art. 466); un conoïde a donc une directrice rectiligne située à l'infini dans son plan directeur.

642. Les droites sur lesquelles se mesurent les plus courtes distances entre deux génératrices consécutives d'un conoïde sont des tangentes perpendiculaires aux génératrices (art. 622) et par suite au plan directeur; elles forment un cylindre circonscrit à la surface le long de la ligne de striction; par conséquent, la ligne de striction d'un conoïde est le contour apparent de cette surface par rapport à son plan directeur , et sa projection orthogonale sur ce plan est l'enveloppe des projections des génératrices.

Nous ajouterons que les plans centraux de toutes lès génératrices sont perpendiculaires au plan directeur, ce qui résulte d'ailleurs immédiatement des considérations présentées à l'article 641.

643. Un paraboloïde a une ligne de striction pour chacun de ses deux systèmes de génératrices. Sur hfig. 288, nous avons pris un nouveau plan de projection U